[论文解读] On Bergman completeness of non-hyperconvex domains

Marek Jarnicki, Peter Pflug+1 more|ArXiv.org|Sep 28, 1999

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文研究了非双全凸有界拟凸域中Bergman核的Bergman完备性及其边界行为。通过利用平衡域与Hartogs型结构的性质，作者证明了包括有界拟凸平衡域、具有平衡纤维的Hartogs域以及某些Laurent-Hartogs域在内的多个类别的Bergman完备性，并证明了在边界处核发散至无穷大。

ABSTRACT

We study the problem of the boundary behaviour of the Bergman kernel and the Bergman completeness in some classes of bounded pseudoconvex domains, which contain also non-hyperconvex domains. Among the classes for which we prove the Bergman completeness and the convergence of the Bergman kernel to infinity while tending to the boundary are all bounded pseudoconvex balanced domains, all bounded Hartogs domains with balanced fibers over regular domains and some bounded Laurent-Hartogs domains.

研究动机与目标

• 分析非双全凸有界拟凸域中Bergman核的边界行为。
• 确定Bergman完备性在非双全凸类域中是否成立。
• 将已知的Bergman完备性结果扩展至双全凸域之外。
• 研究Bergman核在趋近边界时是否收敛至无穷大。
• 为特定几何类（包括平衡域与Hartogs型域）建立完备性与核发散性。

提出的方法

• 利用复分析中Bergman核与度量的理论。
• 应用平衡域的性质——即域在复数乘法下不变。
• 分析基域为正规域、纤维为平衡集的Hartogs域。
• 将Laurent-Hartogs域视为具有特定对称性质的Hartogs域的推广。
• 运用拟凸性与全纯势论中的技术研究边界行为。
• 借助双全凸域中Bergman完备性的已知结果，将其推广至非双全凸情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非双全凸域中，当趋近边界时，Bergman核是否发散至无穷大？
• RQ2 Bergman完备性是否可建立于有界拟凸平衡域之上？
• RQ3 在正规基域上的Hartogs域中，Bergman完备性是否保持？
• RQ4 在某些Laurent-Hartogs域中，Bergman核的边界行为如何？
• RQ5 Bergman完备性在多大程度上可超越双全凸域类进行推广？

主要发现

• 所有有界拟凸平衡域均满足Bergman完备性。
• 在有界拟凸平衡域中，当趋近边界时，Bergman核发散至无穷大。
• 所有具有正规基域上平衡纤维的有界Hartogs域均满足Bergman完备性。
• 在具有平衡纤维的有界Hartogs域中，Bergman核在边界处发散至无穷大。
• 对某些有界Laurent-Hartogs域，已证明Bergman完备性与核发散性。
• 结果将Bergman完备性推广至非双全凸域，包括此前未被已知定理覆盖的类别。