[论文解读] On Besov regularity of Brownian motions in infinite dimensions

Tuomas Hytönen, Mark Veraar|ArXiv.org|Jan 18, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文建立了无限维巴拿赫空间中取值于X的布朗运动的贝索夫正则性尖锐估计，扩展了经典路径正则性结果。通过等周不等式和高斯过程的极大矩估计，证明了布朗运动的贝索夫范数与终端增量的首阶绝对矩等价，其中显式界涉及奥尔利奇范数和弱方差，揭示了在非可分贝索夫空间中非Radon行为。

ABSTRACT

We extend to the vector-valued situation some earlier work of Ciesielski and Roynette on the Besov regularity of the paths of the classical Brownian motion. We also consider a Brownian motion as a Besov space valued random variable. It turns out that a Brownian motion, in this interpretation, is a Gaussian random variable with some pathological properties. We prove estimates for the first moment of the Besov norm of a Brownian motion. To obtain such results we estimate expressions of the form $\E \sup_{n\geq 1}\|ξ_n\|$, where the $ξ_n$ are independent centered Gaussian random variables with values in a Banach space. Using isoperimetric inequalities we obtain two-sided inequalities in terms of the first moments and the weak variances of $ξ_n$.

研究动机与目标

• 将实值布朗运动的经典贝索夫正则性结果推广到无限维巴拿赫空间中的向量值情形。
• 分析布朗运动作为取值于非可分贝索夫空间的随机变量的分布性质。
• 利用高斯过程的极大不等式，推导X-值布朗运动的贝索夫范数的显式矩估计。
• 研究布朗运动在非可分贝索夫空间中的律的病态行为，特别是其缺乏Radon性质。

提出的方法

• 使用等周不等式，推导出 $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\|$ 的双边估计，其中 $\xi_n$ 是取值于巴拿赫空间 $X$ 的独立中心高斯随机变量。
• 建立等价关系 $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\| \eqsim m + \|(\sigma_n)\|_{\Theta}$，其中 $m = \sup_n \mathbb{E} \|\xi_n\|$，$\sigma_n$ 为弱方差，且 $\Theta(x) = x^2 e^{-1/x^2}$。
• 将极大矩估计应用于布朗运动在 dyadic 区间上的增量，通过 $L^p$ 和奥尔利奇范数控制贝索夫半范数。
• 使用 Kahane–Khinchine 不等式，将矩估计扩展至 $L^p$-范数，$p \in [1, \infty)$。
• 分析奥尔利奇范数 $\|\cdot\|_{\Phi_2}$，其中 $\Phi_2(x) = e^{x^2} - 1$，以表征布朗路径的临界正则性。
• 结合 Doob 的极大不等式与范数比较技术，将 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)}$ 和 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)}$ 用 $\mathbb{E} \|W(1)\|$ 有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般巴拿赫空间 $X$，$X$-值布朗运动路径的精确贝索夫正则性是什么？
• RQ2 布朗运动的贝索夫范数的矩如何与其中端值 $W(1)$ 的矩相关？
• RQ3 能否将 $X$-值布朗运动视为取值于非可分贝索夫空间的高斯随机变量？
• RQ4 当布朗运动嵌入非可分贝索夫空间时，其律会产生何种病态性质？
• RQ5 当 $p \to \infty$ 时，$\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)}$ 的尖锐渐近行为是什么？

主要发现

• 对于所有 $p \in [1, \infty)$，$X$-值布朗运动的期望贝索夫范数满足 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)} \eqsim_p (\mathbb{E} \|W(1)\|^p)^{1/p}$。
• 对于奥尔利奇-贝索夫空间，有 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)} \eqsim \mathbb{E} \|W(1)\|$，且等价常数与 $X$ 无关。
• 当 $W$ 视为取值于 $B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)$ 或 $B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)$ 的随机变量时，其律为高斯分布，但由于 $\mathbb{P}(\|W\| \leq \varepsilon) = 0$ 对所有 $\varepsilon > 0$ 成立，故其不是Radon测度。
• 对于取值于巴拿赫空间 $X$ 的独立中心高斯随机变量 $\xi_n$，极大矩估计 $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\| \eqsim m + \|(\sigma_n)\|_{\Theta}$ 成立，其中 $m = \sup_n \mathbb{E} \|\xi_n\|$，$\sigma_n$ 为弱方差。
• 当 $p \to \infty$ 时，奥尔利奇范数 $\|(2^{-j/p})_j\|_{\Theta}$ 渐近等价于 $\sqrt{\log p}$，在矩估计中可忽略不计。
• 极大矩估计中的弱方差项 $\|(\sigma_j)\|_{\Theta}$ 被有界于 $C(1 + \sqrt{\log p}) \|i_W\|$，当 $p$ 较大时远小于 $\mathbb{E} \|W(1)\|$，因此 $m$ 项起主导作用。