[论文解读] On Biased Correlation Estimation

Thomas Schürmann, Ingo Hoffmann|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的、系统性偏差相关的相关性估计器，可确保恒定且可控的低估概率——与传统估计器不同，后者在真实相关性变化时低估风险也相应变化。该方法采用样本相关系数的连续、严格递增变换，已证明其具有统计一致性，并可对任意给定的 α∈(0,1) 实现固定的低估概率 1−α。

ABSTRACT

In general, underestimation of risk is something which should be avoided as far as possible. Especially in financial asset management, equity risk is typically characterized by the measure of portfolio variance, or indirectly by quantities which are derived from it. Since there is a linear dependency of the variance and the empirical correlation between asset classes, one is compelled to control or to avoid the possibility of underestimating correlation coefficients. In the present approach, we formalize common practice and classify these approaches by computing their probability of underestimation. In addition, we introduce a new estimator which is characterized by having the advantage of a constant and controllable probability of underestimation. We prove that the new estimator is statistically consistent.

研究动机与目标

• 正式化金融风险管理中常见的有偏相关性估计实践。
• 量化并比较不同有偏估计器在低估概率方面的表现。
• 开发一种新估计器，其低估概率在所有真实相关性值 ρ∈[−1,1] 下保持恒定且可由用户定义。
• 在有限样本条件下证明新估计器的统计一致性。
• 为投资组合风险估计中的启发式偏差调整提供一种实用且可解析处理的替代方法。

提出的方法

• 提出对样本相关系数估计器 ˆr 的四种分段线性变换，以引入系统性偏差。
• 引入一种新的连续、严格单调递增变换 Gα(ˆr)，其通过标准正态分布的累积分布函数的反函数定义。
• 定义估计器 ˜r = Gα(ˆr)，使得对任意 α∈(0,1) 都有 P(˜r < ρ) = 1−α，从而确保低估概率恒定。
• 推导出该变换的大样本近似式：˜r = [√n + 4qα / √n] ˆr + [4q²α − √n] / (2qα)，适用于 n > 4q²α 的情况。
• 通过随机变量的测度论变换方法，证明低估概率恰好为 1−α。
• 通过证明当 n→∞ 时 ˜r → ˆr，建立统计一致性，利用 ˆr 的渐近正态性及高斯误差函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限样本中，常见有偏相关性估计器的低估概率如何随真实相关性变化？
• RQ2 能否构造一种有偏相关性估计器，使其在所有真实相关性值 ρ∈[−1,1] 下的低估概率保持恒定？
• RQ3 具有可控低估概率的新有偏估计器的统计一致性行为如何？
• RQ4 能否推导出一种闭式、可解析处理的变换，以确保用户定义的低估风险？
• RQ5 与将负相关性钳制为零或添加常数偏移等启发式方法相比，新估计器表现如何？

主要发现

• 所提出的估计器 ˜r = Gα(ˆr) 对任意 α∈(0,1) 均实现恒定的低估概率 1−α，且不依赖于真实相关性 ρ。
• 与标准有偏估计器不同，新估计器的低估风险不随 ρ 变化，解决了现有方法的关键局限性。
• 该估计器具有统计一致性：当样本量 n→∞ 时，˜r 依概率收敛于真实相关性 ρ。
• 推导出变换的大样本近似式：˜r = [√n + 4qα / √n] ˆr + [4q²α − √n] / (2qα)，即使在 n≥20 时也表现良好。
• 理论证明确认该变换保持单调性，并可通过反累积分布函数精确计算低估概率。
• 该方法为诸如将负 r 设为零或添加常数偏移等非正式偏差调整提供了原则性替代方案。