[论文解读] On BIBO stability of systems with irrational transfer function

Ansgar Trächtler|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Control Systems and Identification参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文针对具有无理传递函数的线性时不变系统，基于复分析提出了一种BIBO稳定性的复杂分析表征，重点研究了在闭右半平面内具有有限个极点和分支点的亚纯函数。通过脉冲响应的渐近展开推导出BIBO稳定性的必要且充分条件，并利用柯西辐角原理将奈奎斯特判据推广至无理传递函数系统，无需区分可通约与不可通约的分支点阶次。

ABSTRACT

We consider the input/output-stability of linear time-invariant single-input/single-output systems in terms of singularities of the transfer function F(s) in Laplace domain. The approach is based on complex analysis. A fairly general class of transfer functions F(s) is considered which can roughly be characterized by two properties: (1) F(s) is meromorphic with a finite number of poles in the open right half plane and (2), on the imaginary axes, F(s) may have at most a finite number of poles and branch points. For this class of systems, a complete and thorough characterization of BIBO stability in terms of the singularities in the closed right half-plane is developed where no necessity arises to differentiate between commensurate and incommensurate orders of branch points as often done in literature. A necessary and sufficient condition for BIBO stability is derived which mainly relies on the asymptotic expansion of the impulse response f(t). The second main result is the generalization of the well-known Nyquist citerion for testing closed-loop stability in terms of the open-loop frequency response locus to the class of systems under consideration which is gained by applying Cauchy's argument principle.

研究动机与目标

• 为具有无理传递函数的线性时不变系统建立BIBO稳定性的全面表征。
• 解决现有稳定性准则中需区分可通约与不可通约分支点阶次的局限性。
• 基于脉冲响应的渐近行为，推导出BIBO稳定性的必要且充分条件。
• 通过柯西辐角原理，将经典奈奎斯特判据推广至具有无理传递函数的系统。

提出的方法

• 分析基于复分析，聚焦拉普拉斯域中的孤立奇点，包括极点和分支点。
• 论文考虑了在开右半平面内具有有限个极点、在虚轴上至多具有有限个极点和分支点的传递函数。
• 基于传递函数的拉普拉斯逆变换（即脉冲响应）的渐近展开，推导出BIBO稳定性的必要且充分条件。
• 通过将柯西辐角原理应用于开环传递函数，建立广义奈奎斯特判据，分析沿包围右半平面的闭合路径的辐角变化。
• 该贡献区分了不同类型的分支点（极点型、普通型及高阶型），并计算了每类对半圆路径上辐角变化的贡献。
• 稳定性分析同时考虑了虚轴上的极点和分支点，包括分支点主导指数κ₀ < 0或κ₀ = 0的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于包含分支点的无理传递函数系统，BIBO稳定性的必要且充分条件是什么？
• RQ2 经典奈奎斯特判据如何推广至包含右半平面极点和分支点的无理传递函数系统？
• RQ3 在稳定性分析中能否避免区分可通约与不可通约的分支点阶次？
• RQ4 不同类型的分支点（如极点型、普通型、高阶型）对奈奎斯特型稳定性检验中辐角变化的贡献是什么？
• RQ5 脉冲响应的渐近行为与具有无理传递函数的系统中BIBO稳定性有何关联？

主要发现

• 基于脉冲响应的渐近展开，推导出BIBO稳定性的必要且充分条件，确保|g(t)|的绝对可积性。
• 论文证明：BIBO稳定性成立当且仅当脉冲响应绝对可积，即∫₀^∞ |g(t)| dt < ∞收敛。
• 通过计算包围右半平面的路径上F₀(s)的辐角变化，验证了广义奈奎斯特判据，其中极点和分支点的贡献被显式计算。
• 对于位于s = a处的k阶极点，沿小半圆的辐角变化为−j k π；而对于1 + F₀(s)的零点（即闭环系统的极点），其辐角变化为+j k π。
• 对于主导指数κ₀ < 0的极点型分支点，辐角变化为j κ₀ π；对于κ₀ = 0且c₀ ≠ −1的普通分支点，当ϱ → 0时其贡献趋于零。
• 当c₀ = −1且κ₀ = 0时，辐角变化为j κ₁ π；当κ₀ > 0时，其贡献随半径ϱ → 0而趋于零。