[论文解读] On bijections between 231-avoiding permutations and Dyck paths

Christian Stump|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文构建了一个新的双射，连接避开231模式的排列与Dyck路径，将排列的maj与imaj之和映射到对应Dyck路径的maj。核心贡献是针对与$q,t$-Catalan数相关的多项式$\mathcal{A}_n(q,t)$提供了对称性的双射证明，并建立了与已有双射的联系，为避免模式的排列与Dyck路径的组合学提供了新见解。

ABSTRACT

We construct a bijection between 231-avoiding permutations and Dyck paths that sends the sum of the major index and the inverse major index of a 231-avoiding permutation to the major index of the corresponding Dyck path. Furthermore, we relate this bijection to others and exhibit a bistatistic on 231-avoiding permutations which is related to the q,t-Catalan numbers.

研究动机与目标

• 构建避开231模式的排列与Dyck路径之间新的显式双射，以保持特定统计量。
• 将避开231模式的排列上maj与imaj之和与Dyck路径上的maj建立联系。
• 通过双射证明展示多项式$\mathcal{A}_n(q,t)$在$q$与$t$下对称。
• 将所提出的双射与已知的避免模式排列与Dyck路径之间的双射建立联系。
• 探索避开231模式排列上的双统计量与$q,t$-Catalan数$\operatorname{Cat}_n(q,t)$之间的潜在联系。

提出的方法

• 双射$\Phi$将每个避开231模式的排列$\sigma$映射到一条Dyck路径$D$，使得$\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma) = \operatorname{maj}(D)$。
• 该构造利用Robinson-Schensted对应关系以及至多两行的标准杨表的性质。
• 逆maj定义为$\operatorname{imaj}(\sigma) = \operatorname{maj}(\hat{\sigma}})$，其中$\hat{\sigma}$是$\sigma$的逆排列。
• 在$\mathcal{S}_n(321)$上定义了一个对合$\mathbf{j}$，通过表上的提升操作实现，保持下降集，并通过$ j \mapsto n-j $将逆下降集变换。
• 双射$\Phi$与早期构造相关：$\beta = \Psi \circ \Phi \circ \mathbf{i}$，其中$\beta$是Bandlow-Killpatrick从$\mathcal{S}_n(132)$到$\mathcal{D}_n$的双射，$\mathbf{i}$是将$\sigma$映射为其逆的对合。
• 通过$\operatorname{inv}(\sigma) = \operatorname{area}(\Psi \circ \Phi(\sigma))$建立了与面积统计量的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个避开231模式的排列与Dyck路径之间的双射，使得$\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma)$映射到Dyck路径的maj？
• RQ2 通过该双统计量定义的多项式$\mathcal{A}_n(q,t)$是否在$q$与$t$下对称？
• RQ3 所提出的双射如何与Bandlow-Killpatrick及Krattenthaler关于避免模式排列与Dyck路径的双射相关联？
• RQ4 是否能通过maj及其补集的生成函数将$q,t$-Catalan数$\operatorname{Cat}_n(q,t)$表示为Dyck路径上的函数？
• RQ5 是否存在一个组合对合，通过保持统计量的直接双射证明$\operatorname{Cat}_n(q,t)$的对称性？

主要发现

• 双射$\Phi$将每个避开231模式的排列$\sigma$映射到一条Dyck路径$D$，使得$\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma) = \operatorname{maj}(D)$，建立了精确的统计量保持对应。
• 多项式$\mathcal{A}_n(q,t)$作为$\mathcal{S}_n(231)$上$\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma)$的生成函数，通过双射证明在$q$与$t$下对称。
• 证明了$\mathcal{A}_n(q,q^{-1}) = \operatorname{Cat}_n(q,q^{-1})$，将新多项式与MacMahon的$q$-Catalan数联系起来。
• 双射$\Phi$通过恒等式$\beta = \Psi \circ \Phi \circ \mathbf{i}$与Bandlow-Killpatrick及Krattenthaler双射相连，其中$\mathbf{i}$为逆对合。
• 当$n=4$时，$\mathcal{A}_4(q,t) - \operatorname{Cat}_4(q,t) = q^2t^2(qt - 1)$，表明当$n \geq 4$时$\mathcal{A}_n(q,t) \neq \operatorname{Cat}_n(q,t)$，但当$t = q^{-1}$时两者一致。
• 在$\mathcal{S}_n(321)$上构造了一个对合，保持下降集，并将逆下降集$\operatorname{iDes}(\sigma)$映射到$\{n-j : j \in \operatorname{iDes}(\sigma)\}$，支持了$\mathcal{A}_n(q,t)$的对称性。