[论文解读] On Bijective Variants of the Burrows-Wheeler Transform

Manfred Kufleitner|ArXiv.org|Aug 3, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文提出了Burrows-Wheeler變換（BWT）和排序變換（ST）的兩種雙射變體，通過利用Lyndon分解和一種新型k階上下文圖，消除了對索引或行尾標記的需求。主要貢獻在於對兩種變換的雙射性提供了構造性證明，並設計了基於圖結構重建的高效逆算法，實現了無冗餘的損失性一一映射，進而提升了數據壓縮效率與密碼學安全性。

ABSTRACT

The sort transform (ST) is a modification of the Burrows-Wheeler transform (BWT). Both transformations map an arbitrary word of length n to a pair consisting of a word of length n and an index between 1 and n. The BWT sorts all rotation conjugates of the input word, whereas the ST of order k only uses the first k letters for sorting all such conjugates. If two conjugates start with the same prefix of length k, then the indices of the rotations are used for tie-breaking. Both transforms output the sequence of the last letters of the sorted list and the index of the input within the sorted list. In this paper, we discuss a bijective variant of the BWT (due to Scott), proving its correctness and relations to other results due to Gessel and Reutenauer (1993) and Crochemore, Desarmenien, and Perrin (2005). Further, we present a novel bijective variant of the ST.

研究动机与目标

• 開發不依賴索引或行尾標記的Burrows-Wheeler變換（BWT）雙射變體。
• 將雙射性推廣至排序變換（ST），即僅使用前k個字母對共軛進行排序的BWT變體。
• 為兩種雙射變換提供單射性與滿射性的構造性證明。
• 設計基於新型k階上下文圖結構的高效逆算法，用於重建原始字串。
• 統一並釐清Scott的雙射BWT、Gessel-Reutenauer理論與Crochemore-Désarménien-Perrin在詞論中的結果之間的聯繫。

提出的方法

• 以Lyndon分解作為核心結構元件，用於定義雙射BWT，確保輸入字串的唯一分解。
• 應用k階上下文圖來建模雙射ST中共軛的結構，其中節點代表長度為k的上下文，邊代表狀態轉移。
• 在k階上下文圖上採用貪心遍歷策略，始終選擇字典序最小的可用出邊，從變換輸出重建原始字串。
• 透過反向模擬正向變換，結合上下文圖與標準輸出排列，構造雙射ST的逆變換。
• 在ST中引入改進的排序準則，當前k個字母相等時，僅以旋轉索引作為tie-breaking依據。
• 透過構造性算法證明雙射性：從變換輸出與上下文圖中恢復原始字串，確保一一對應。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用索引或行尾標記的情況下使Burrows-Wheeler變換實現雙射？
• RQ2 如何修改排序變換（ST）以在保持其結構特性的情況下實現雙射？
• RQ3 Lyndon分解在實現雙射BWT中發揮何種作用？其與現有詞論結果有何關聯？
• RQ4 k階上下文圖能否作為標準排列的推廣，以支援雙射ST的高效逆運算？
• RQ5 雙射BWT與雙射ST如何與Gessel-Reutenauer變換及其他已知詞論結果相互關聯？

主要发现

• 基於Lyndon分解的雙射BWT被證明是長度為n的字串與其變換輸出之間的一一對應關係，無需索引或行尾標記。
• 雙射ST被提出為ST的一種新變體，透過k階上下文圖編碼共軛關係，實現無損重建，從而達到雙射性。
• 雙射ST的逆變換透過k階上下文圖的貪心遍歷計算，系統性地從右至左輸出字元，重建原始字串為輸出序列的逆序。
• k階上下文圖推廣了BWT逆運算中使用的標準排列，為逆算法提供了結構化的中間步驟。
• 針對特定範例 w = bcbccbcbcabbaaba 與 k=2，雙射ST與雙射BWT產生相同輸出，證明在某些情況下二者等價。
• 從雙射ST輸出重建原始字串的演算法正確且僅在消耗完上下文圖中所有邊時終止，確保完整性與正確性。