[论文解读] On binary and quadratic divisor problems

Farzad Aryan|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文通过结合 $δ$-方法、Voronoi 求和公式与 Kuznetsov 迹公式，对涉及除数函数 $d(n)$、尖形式的傅里叶系数以及平方和函数 $r(n)$ 的平移卷积和进行了精细化研究。研究建立了二元除数问题的改进误差项 $O(X^{1/2+\theta+\epsilon}h^{\theta})$，超越了以往的界限，并将结果推广至二次除数问题，对 $L$-函数的矩估计具有应用价值。

ABSTRACT

We study the shifted convolution sum of the divisor function and some other arithmetic functions.

研究动机与目标

• 将平移卷积和 $\sum_{n-m=h} d(n)d(m)f(n,m)$ 的误差项改进至超越现有结果的水平。
• 将该方法扩展至其他具有主项的算术函数，如 $r(n)$ 与 $\tau_\chi(n)$，这些函数不适用于标准圆法技术。
• 将优化后的方法应用于二次除数问题，并推导出对 $L$-函数矩估计相关的界。
• 建立一个将 $δ$-方法与谱理论、Kloosterman 和估计相结合的框架，借助 Kuznetsov 迹公式实现。
• 在 $h$-变量方面实现一致的误差项，改进 Meurman 的 $O(X^{1/2+\epsilon}h^{1/8+\theta/2})$ 估计。

提出的方法

• 将 Duke、Friedlander 与 Iwaniec 的 $δ$-方法适配于处理具有主项的算术函数的平移卷积和。
• 应用类 Voronoi 求和公式，将和转化为包含 Kloosterman 和的形式。
• 利用 Kuznetsov 迹公式更有效地估计 Kloosterman 和，尤其在 $h$-变量方面优于 Weil 的界。
• 使用光滑的单位分解与二元分解，局部化和的支集并控制误差项。
• 应用引理 5.2 与引理 7.3 平均 Kloosterman 和，实现 $X/\mathcal{Q}^{2-\epsilon}$ 的节省，从而改进最终误差界。
• 将谱方法与贝塞尔函数及积分变换理论结合，分析二次除数问题中主项与误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将二元除数和 $\sum_{n-m=h} d(n)d(m)f(n,m)$ 的误差项改进至超越 $O(X^{1/2+\epsilon}h^{1/8+\theta/2})$ 的水平，当 $h \ll X^{1-\epsilon}$ 时？
• RQ2 如何将 $δ$-方法扩展至处理具有非平凡主项的算术函数（如 $d(n)$ 与 $r(n)$），这些函数使得 Jutila 圆法无法直接应用？
• RQ3 对于具有本原 Dirichlet 特征 $\chi$ 的平移卷积和 $\sum_{n-m=h} \tau_\chi(n)\tau_{\overline{\chi}}(m)f(n,m)$，可达到的最优误差项是什么？
• RQ4 该方法能否被调整以估计涉及除数函数与尖形式傅里叶系数的和，如 $\sum_{n-m=h} a(n)d(m)f(n,m)$？
• RQ5 在二次除数问题中，误差项对 $h$ 与 Ramanujan-Petersson 参数 $\theta$ 的精确依赖关系如何？

主要发现

• 本文建立了当 $h \ll X^{1-\epsilon}$ 时的界 $\sum_{n-m=h} d(n)d(m)f(n,m) = \text{主项} + O(X^{1/2+\theta+\epsilon}h^{\theta})$，优于 Meurman 的 $O(X^{1/2+\epsilon}h^{1/8+\theta/2})$。
• 对于平方和，当 $4 \mid h$ 时，有界 $\sum_{n-m=h} r(n)r(m)f(n,m) = \text{主项} + O(X^{1/2+\theta+\epsilon})$，主项来自一般公式的 $q=4$ 情况。
• 该方法改进了 Heap 对 $\sum_{n-m=h} \tau_\chi(n)\tau_{\overline{\chi}}(m)f(n,m)$ 的 $O(X^{3/4+\epsilon})$ 误差项（当 $p \mid h$ 时），实现 $O(X^{1/2+\theta+\epsilon})$ 的误差项。
• 二次除数问题的误差项被控制在 $O(X^{1/2+\theta+\epsilon}d/a)$ 内，主项包含对贝塞尔函数的积分与 Kloosterman 和的求和。
• 分析表明，Kuznetsov 迹公式在误差项中实现了 $X/\mathcal{Q}^{2-\epsilon}$ 的节省，这对实现改进的界至关重要。
• 该框架预计可推广至如 $\sum_{n-m=h} a(n)d(m)f(n,m)$ 的和，预测误差项为 $O(X^{1/2+\epsilon}h^{\theta})$。