[论文解读] On birational maps from cubic threefolds

Jérémy Blanc, Stéphane Lamy|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文分类了在光滑三次三复形中，其爆破后得到弱Fano三复形的光滑曲线，识别出满足 2(d−5)≤g 且 d≤6 且无三重割线的特定亏格-次数对 (g,d)。关键贡献在于，利用 (2,6) 曲线的Sarkisov链，首次构造出在Picard数为3的光滑三复形上具有大于1的动力度的伪自同构，并证明了任意三次三复形的双有理自同构群会收缩双有理等价于任意给定的可展曲面的曲面。

ABSTRACT

We characterise smooth curves in a smooth cubic threefold whose blow-ups produce a weak-Fano threefold. These are curves $C$ of genus $g$ and degree $d$, such that (i) $2(d-5) \le g$ and $d\le 6$; (ii) $C$ does not admit a 3-secant line in the cubic threefold. Among the list of ten possible such types $(g,d)$, two were previously left as open numerical possibilities, namely $(g,d) = (0,5)$ and $(2,6)$. Using the Sarkisov link associated with a curve of type $(2,6)$, we are able to produce the first example of a pseudo-automorphism with dynamical degree greater than $1$ on a smooth threefold with Picard number $3$. We also prove that the group of birational selfmaps of any smooth cubic threefold contains elements contracting surfaces birational to any given ruled surface.

研究动机与目标

• 刻画光滑三次三复形 Y 中的光滑曲线 C，使得 C 的爆破 X 为弱Fano三复形。
• 识别出哪些此类曲线会生成从 Y 出发的Sarkisov链，从而成为 Y 的双有理自同构。
• 在 Picard 数为 3 的光滑三复形上构造一个具有大于1的动力度的伪自同构。
• 证明任意光滑三次三复形的双有理自同构群均包含将曲面双有理等价于任意给定可展曲面的映射。

提出的方法

• 通过条件 2(d−5) ≤ g 和 d ≤ 6，对光滑曲线 C ⊂ Y 的亏格与次数 (g,d) 进行分类，使得 X → Y 的爆破为弱Fano三复形。
• 排除在 Y 中存在三重割线的曲线，因为这会阻碍 X 成为弱Fano三复形。
• 利用反 canonical 系 |−K_X| 的结构分析 X 的双有理几何，特别是其基点自由性与映射类型。
• 通过爆破与 flops 构造Sarkisov链，利用超二次曲面及其基集的几何结构。
• 利用反 canonical 系在爆破上的作用，定义到 P^3 的态射，从而实现伪自同构的构造。
• 通过计算在Picard群上诱导作用的谱半径，计算两个伪自同构复合后的动力度。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些在 Y 中的光滑曲线 C ⊂ Y，其亏格为 g、次数为 d，使得在 Y 中爆破 C 后得到的三复形 X 为弱Fano？
• RQ2 对于哪些此类曲线，其爆破 X 允许存在到 Y 的Sarkisov链，从而生成 Y 的双有理自同构？
• RQ3 能否利用三次三复形中的曲线，在 Picard 数为 3 的光滑三复形上构造出具有大于1动力度的伪自同构？
• RQ4 哪些类型的可展曲面可被光滑三次三复形的双有理自同构收缩？

主要发现

• 曲线 C ⊂ Y 的爆破 X 为弱Fano三复形，当且仅当 2(d−5) ≤ g，d ≤ 6，且 C 在 Y 中无三重割线。
• 在满足不等式的 12 组 (g,d) 对中，仅有 (0,5) 和 (2,6) 会生成作为 Y 的双有理自同构的Sarkisov链。
• 通过 (2,6) 曲线的构造，得到一个在 Picard 数为 3 的光滑三复形上具有动力度 49 + 20√6 的伪自同构。
• 包含 (2,6) 曲线 C₁ 的一般超二次曲面族的基集为 C₁ ∪ C₂，其中 C₂ 是另一条 (2,6) 曲线。
• 任意光滑三次三复形的双有理自同构群均包含将曲面双有理等价于任意给定可展曲面的元素。
• 伪自同构在 Pic(Z) 上的作用的谱半径为 49 + 20√6，确认了其动力度。