[论文解读] On Borsuk's conjecture for two-distance sets

Andriy Bondarenko|arXiv (Cornell University)|May 12, 2013

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一句话总结

本文通过在 ℝ⁶⁵ 中的 64 维单位球面上构造一个包含 416 个点的两距离集，证明了博苏克猜想对两距离集不成立：这些点之间的成对夹角对应于内积为 1/5 或 -1/15，且无法被划分为 83 个更小直径的子集。该结果表明，在 65 维中两距离集的博苏克数至少为 84，并通过基于 G₂(4) 和 Fi₂₃ 的强正则图的递归构造，将此结论推广至无穷多个维度。

ABSTRACT

In this paper we answer Larman's question on Borsuk's conjecture for two-distance sets. We find a two-distance set consisting of 416 points on the unit sphere in the dimension 65 which cannot be partitioned into 83 parts of smaller diameter. This also reduces the smallest dimension in which Borsuk's conjecture is known to be false. Other examples of two-distance sets with large Borsuk's numbers will be given.

研究动机与目标

• 解决拉尔曼关于博苏克猜想是否对两距离集成立的问题。
• 在高维球面上显式构造具有大博苏克数的两距离集。
• 降低博苏克猜想对两距离集失效的最小维度。
• 通过强正则图的递归构造，将结果推广至无穷多个维度。

提出的方法

• 通过强正则图的邻接矩阵的欧氏表示构造两距离集。
• 利用参数为 (v,k,λ,μ) 的强正则图的邻接矩阵 A 的谱性质，推导出 ℝ^f 中具有两个不同内积的向量。
• 应用变换 z_i = y_i - (1/v)∑y_j 并归一化，得到单位向量 x_i 位于球面 S^{f-1} 上。
• 利用图中非相邻顶点间最小距离对应于该构型直径的事实。
• 通过界定图中最大团的大小，估计更小直径子集的最小数量。
• 通过将 n 个基构型组合并添加一个与其余所有向量距离为 1 的新向量，在更高维中进行递归构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 博苏克猜想能否在低维欧氏空间中对两距离集被证伪？
• RQ2 在维度 n 中，两距离集的最大可能博苏克数 b₂(n) 是多少？
• RQ3 强正则图是否提供了一种系统化构造具有高博苏克数的两距离集的方法？
• RQ4 该构造能否在保持不可划分性的同时推广至无穷多个维度？
• RQ5 使得 b₂(n) > n+1 的最小维度 n 是多少？

主要发现

• 在 S⁶⁴ ⊂ ℝ⁶⁵ 上的 416 个点构成的两距离集，其内积为 1/5 和 -1/15，无法被划分为 83 个更小直径的子集，因此 b₂(65) ≥ 84。
• 该构型源自参数为 (416,100,36,20) 的强正则图 G₂(4)，其谱性质产生了所需的两距离结构。
• 在 S⁷⁸¹ ⊂ ℝ⁷⁸² 上的更大两距离集包含 31,671 个点，其内积为 1/10 和 -1/80，无法被划分为 1,376 个更小直径的子集，因此 b₂(781) ≥ 1,377。
• 利用 Fi₂₃ 强正则图（参数为 (31671,3510,693,351)），该构造得出 b₂(781) ≥ 1377，且对较低维度有更紧的界：b₂(780) ≥ 1102 和 b₂(779) ≥ 1002。
• 该结果被推广至无穷多个维度：对所有 n ≥ 1 和 k ≥ 0，有 b₂(66n + k) ≥ 84n + k + 1 和 b₂(783n + k) ≥ 1377n + k + 1。
• 该构造依赖于图的子构型中团大小的界限，特别是证明 Fi₂₃ 图的第二子构型中最大团至多为 21，从而将全图中任意团的大小限制在 23 以内。