[论文解读] On Bott-Chern forms with applications to differential K-theory

Vamsi Pritham Pingali, Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2011

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

本文利用具有典范联络的 Hermitian 光滑向量丛的 Chern-Weil 理论，显式计算了具有非对角度量的平凡丛上的 Chern 形式。证明了复流形上每个 ∂∂̄-恰当的 (k,k)-形式均可表示为两个具有典范联络的平凡丛的 Chern-特征形式之差，且每个实 (k,k)-形式（k < n）均可表示为同一平凡向量丛上两个 Hermitian 度量的 Bott-Chern 形式——为 Simons 与 Sullivan 的结果提供了复几何类比。当首项为线丛时，推导出短正合列的 Bott-Chern 形式的显式公式，并得到了复射影空间中超平面的总 Chern 形式的简洁公式。

ABSTRACT

We use Chern-Weil theory for Hermitian holomorphic vector bundles with canonical connections for explicit computation of the Chern forms of trivial bundles with special non-diagonal Hermitian metrics. We prove that every del-dellbar exact real form of the type (k,k) on an n-dimensional complex manifold X arises as a difference of the Chern character forms of trivial Hermitian vector bundles with canonical connections, and that (modulo the image of del and delbar) every real form of type (k,k), k<n, arises as a Bott-Chern form for two Hermitian metrics on some trivial vector bundle over X. The latter result is a complex manifold analogue of Proposition 2.6 in the paper arXiv: 0810.4935 by J. Simons and D. Sullivan. As an application, we obtain an explicit formula for the Bott-Chern form of a short exact sequence of holomorphic vector bundles, considered by Bott and Chern in classic 1965 paper, for the case when the first term is a line bundle. We also present a very simple explicit formula for the total Chern form of a hypersurface in the complex projective space.

研究动机与目标

• 建立 Bott-Chern 形式在 Hermitian 向量丛上典范联络下的微分几何实现。
• 证明复流形上每个 ∂∂̄-恰当的 (k,k)-形式均可表示为具有典范联络的平凡丛的 Chern-特征形式之差。
• 证明复流形上每个实 (k,k)-形式（k < n）均可表示为同一平凡向量丛上两个 Hermitian 度量的 Bott-Chern 形式。
• 当首项为线丛时，推导出全纯向量丛短正合列的 Bott-Chern 形式的显式公式。
• 提出复射影空间中超平面的总 Chern 形式的简洁显式公式。

提出的方法

• 利用配备典范联络的 Hermitian 光滑向量丛的 Chern-Weil 理论，计算曲率与 Chern 形式。
• 在平凡向量丛上使用非对角 Hermitian 度量，以生成显式的 Chern-特征形式。
• 通过将 (k,k)-形式模去 ∂ 和 ∂̄ 的像进行分解，分析其上同调结构。
• 利用 Bott-Chern 形式度量同一丛上两个度量的 Chern 形式之差这一事实。
• 将结果应用于 Bott 与 Chern 研究的经典全纯向量丛短正合列，重点关注首项为线丛的情形。
• 利用上述构造，推导出复射影空间中超平面总 Chern 形式的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 复流形上每个 ∂∂̄-恰当的实 (k,k)-形式是否均可实现为具有典范联络的平凡 Hermitian 向量丛的 Chern-特征形式之差？
• RQ2 复流形上每个实 (k,k)-形式（k < n）是否均可表示为同一平凡向量丛上两个 Hermitian 度量的 Bott-Chern 形式？
• RQ3 当首项为线丛时，全纯向量丛短正合列的 Bott-Chern 类的显式形式为何？
• RQ4 如何利用 Bott-Chern 形式以简洁显式方式表达复射影空间中超平面的总 Chern 形式？
• RQ5 典范联络在平凡丛上非对角 Hermitian 度量的 Chern-Weil 构造中起何作用？

主要发现

• 在 n 维复流形上，每个 ∂∂̄-恰当的实 (k,k)-形式均可表示为两个具有典范联络的平凡 Hermitian 向量丛的 Chern-特征形式之差。
• 在复流形上，每个实 (k,k)-形式（k < n）均可表示为同一平凡向量丛上两个 Hermitian 度量的 Bott-Chern 形式，模去 ∂ 和 ∂̄ 的像。
• 当首项为线丛时，推导出全纯向量丛短正合列的 Bott-Chern 形式的显式公式。
• 得到了复射影空间中超平面总 Chern 形式的简洁闭式表达。
• 该构造通过平凡丛上的典范联络与非对角度量，为 Bott-Chern 类提供了微分 K-理论的解释。