[论文解读] On braided fusion categories I

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 22

一句话总结

本文引入了辫子融合范畴的‘核心’作为新不变量，以分离出不源于有限群的部分。通过对极大Tannakian子范畴的中心进行去等变化，核心捕捉了非群论结构，并被证明是弱非各向同性的，其应用包括通过中心和拉格朗日子范畴对非退化辫子融合范畴进行分类。

ABSTRACT

This work is a detailed version of arXiv:0704.0195 [math.QA]. We introduce a new notion of the core of a braided fusion category. It allows to separate the part of a braided fusion category that does not come from finite groups. We also give a comprehensive and self-contained exposition of the known results on braided fusion categories without assuming them pre-modular or non-degenerate. The guiding heuristic principle of our work is an analogy between braided fusion categories and Casimir Lie algebras.

研究动机与目标

• 建立不假设预模性或非退化的辫子融合范畴的基础理论。
• 通过新的核心概念，分离辫子融合范畴中非群论的部分。
• 在不依赖球面对称或非退化结构的前提下，推广关于中心化子和高斯和的已知结果。
• 确立核心为弱非各向同性范畴，即不具有在辫子自等价下稳定的非平凡Tannakian子范畴。
• 提供一个框架，用于从核心和有限群数据重构辫子融合范畴，如后续工作所示。

提出的方法

• 通过极大Tannakian子范畴 E = Rep(G) 的中心的去等变化，定义辫子融合范畴 C 的核心。
• 将核心构造为 CoreE(C) = E′ ⊠E Vec，其中 E′ 是 E 在 C 中的中心化子。
• 证明 (CoreE(C), ΓE) 的等价类（ΓE 是 G 在核心的辫子自等价中的像）与 E 的选择无关。
• 利用伴随作用和复合映射 C →G →Func(C1, C1) 的平凡化，证明当分次为忠实映射时，该作用在核心上是平凡的。
• 应用 G-交叉格范畴和主丛理论，通过 π0 和 π1 不变量描述 G 对核心的作用。
• 利用复化格罗滕迪克环和正迹，通过 ∗-代数的谱性质和幂零性准则，证明融合子范畴的刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何精确分离辫子融合范畴中源于有限群的部分与其余部分？
• RQ2 辫子融合范畴的核心结构是什么，其在自等价下的行为如何？
• RQ3 在何种条件下核心是弱非各向同性的，这对其内部结构意味着什么？
• RQ4 非退化辫子融合范畴能否从其核心和群数据中重构？
• RQ5 在不假设非退化性或预模性时，高斯和与中心化子的作用是什么？

主要发现

• 辫子融合范畴的核心在等价意义下是良定义的，且不依赖于极大Tannakian子范畴的选择。
• 核心是弱非各向同性的，即不存在在所有辫子自等价下保持不变的非平凡Tannakian子范畴。
• 对于非退化辫子融合范畴，存在拉格朗日子范畴当且仅当该范畴是某一点融合范畴的中心。
• 从核心和群数据重构辫子融合范畴是可能的，如定理 4.64 及后续工作所示。
• 当 G-交叉格范畴的分次为忠实映射时，其在核心上诱导的张量自等价同构于恒等函子。
• 配备正迹的复化格罗滕迪克环可确保任意融合子范畴为刚性，这通过幂零性和幂等元的迹准则实现。