[论文解读] On Bredon (Co-)Homological Dimensions of Groups

Martin Fluch|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 25

一句话总结

本论文开发了同调工具以计算群的布雷东（co-）同调维数，重点关注拟循环子群族。它建立了几何下界，为无限循环扩张的分类空间构造了显式模型，并确定了可解鲍姆斯拉格-索利特尔群及其他类别的精确布雷东维数，解决了同调维数与几何维数一致的案例。

ABSTRACT

This is a revised version of the author's PhD thesis, including the corrections by the examiners. It also includes a few additional small corrections. In this thesis the objects of study are classifying spaces of groups with stabilisers in a given family of subgroups. Given a group G and a family of subgroups we study the minimal dimension a classifying space can have. We focus on classifying spaces with virtually cyclic stabilisers.

研究动机与目标

• 确定针对拟循环子群族的分类空间 $\underline{\underline{E}}G$ 的最小维数。
• 为任意子群族的布雷东（co-）同调维数计算开发同调工具。
• 在 $G$ 是已知 $\underline{\underline{E}}B$ 的群的无限循环扩张时，构造 $\underline{\underline{E}}G$ 的显式模型。
• 分类可数、无挠、可解群，这些群在 $\underline{\underline{E}}G$ 上具有树作为模型。
• 建立 $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ 蕴含 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$ 的条件。

提出的方法

• 在 $\mathcal{O}_{\mathfrak{F}}G$-模范畴中使用布雷东上同调，研究具有属于族 $\mathfrak{F}$ 的稳定子的 $G$-CW 复形。
• 应用几何方法，利用分类空间 $E_{\mathfrak{F}}G$ 推导布雷东（co-）同调维数的下界。
• 当 $G$ 是 $B$ 的无限循环扩张时，从 $\underline{\underline{E}}B$ 的模型构造 $\underline{\underline{E}}G$ 的模型。
• 使用沙皮罗引理和张量积技术分析布雷东模的分解与维数。
• 利用吕克和魏曼的成果对布雷东几何维数为 1 的群进行分类。
• 应用可解群的上同调维数为 2 的分类结果，以确定布雷东维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定群 $G$，$\underline{\underline{E}}G$ 的 $G$-CW 复形模型的最小维数是多少？
• RQ2 $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ 在何种条件下蕴含 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$？
• RQ3 可解鲍姆斯拉格-索利特尔群的布雷东（co-）同调维数是多少？
• RQ4 哪些可数、无挠、可解群在 $\underline{\underline{E}}G$ 上具有树作为模型？
• RQ5 布雷东维数在无限循环扩张下如何表现？

主要发现

• 对于同构于 $\mathbb{Z}[1/m] \rtimes \mathbb{Z}$ 且 $|m| \neq 1$ 的可解鲍姆斯拉格-索利特尔群 $G$，布雷东（co-）同调维数与几何维数均等于 2。
• 对于可数、无挠、可解群，$\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ 当且仅当 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$，这恰好发生在 $G$ 局部为拟循环但非拟循环时。
• $\mathbb{Z}[1/m] \rtimes \mathbb{Z}$ 满足 $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$，确认了在此情况下布雷东上同调的埃伦伯格-加内亚猜想。
• 对于虚拟上同调维数为 2 的拟多项式群，布雷东维数满足 $\operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 3$，包括 $\mathbb{Z}^2$ 和 $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}$。
• 灯工群 $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 满足 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$，为 $\underline{\underline{E}}G$ 具有二维模型的群提供了具体实例。
• 对于满足 $\operatorname{\underline{gd}}G \leq 2$ 且非拟循环的格罗莫夫双曲群，有 $\operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$，包括自由群（秩 $\geq 2$）和有限图的有限群的基本群。