[论文解读] On Brownian limits of planar trees and maps with a prescribed degree sequence

Cyril Marzouk|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用 2

一句话总结

本文使用配置模型研究具有指定度序列的随机平面图，证明在适当的缩放下，若无面具有宏观度数，则其在分布上收敛于布朗运动图或布朗运动盘；若内部面具有宏观度数，则图收敛于布朗运动CRT，从而填补了文献中关于柯西型临界权重的空白。

ABSTRACT

We study a configuration model on bipartite planar maps where, given $n$ even integers, one samples a planar map uniformly at random with these face degrees. We prove that when suitably rescaled, such maps always admit subsequential limits as $n o \infty$ in the Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology. Further, we show that they converge in distribution towards the celebrated Brownian map, and more generally a Brownian disk for maps with a boundary, if and only if there is no inner face with a macroscopic degree, or, if the perimeter is too big, the maps degenerate and converge to the Brownian CRT. The latter case include that of size-conditioned Boltzmann map associated with critical weights in the domain of attraction of a Cauchy distribution, which was missing in the literature. Our proofs rely on bijections with random labelled plane trees, which are similarly sampled uniformly given $n$ outdegrees. Along the way, we obtain some results on the geometry of such trees, such as a convergence to the Brownian CRT but only in the weaker sense of subtrees spanned by random vertices, which are of independent interest.

研究动机与目标

• 理解条件为固定面度数序列的随机平面图的缩放极限。
• 确定此类图在何种条件下收敛于布朗运动图或布朗运动CRT。
• 填补文献中关于处于柯西分布吸引域内的临界权重平面图研究的空白。
• 建立具有边界的图的收敛结果，扩展至布朗运动盘。

提出的方法

• 使用配置模型在具有给定面度数序列的所有平面图中均匀采样。
• 应用平面图与具有指定出度的标号平面树之间的双射关系。
• 在Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑下对图进行缩放，以分析其极限行为。
• 通过随机顶点生成的子树分析随机树的几何结构，表明其以较弱意义收敛于布朗运动CRT。
• 运用概率技术刻画宏观面的出现及其对极限行为的影响。
• 利用已知的随机树收敛结果，推导出对应图的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有固定度数序列的随机平面图在Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑下收敛于布朗运动图？
• RQ2 当某些面相对于总大小具有宏观度数时，其缩放极限会发生什么变化？
• RQ3 对于处于柯西分布吸引域内的临界权重，其收敛于布朗运动CRT是否成立？
• RQ4 边界条件如何影响极限对象，特别是与布朗运动盘的关系如何？
• RQ5 是否可利用具有指定出度的随机树的几何结构推断其对应平面图的性质？

主要发现

• 若无面具有宏观度数，则具有指定度数序列的图在分布上收敛于布朗运动图。
• 若存在一个面具有宏观度数，特别是周长过大时，图收敛于布朗运动CRT。
• 布朗运动CRT的收敛性包括临界权重处于柯西分布吸引域的情形，此前该问题尚未解决。
• 随机标号树中由随机顶点生成的子树收敛于布朗运动CRT，但仅以较弱意义成立，而非在完整树拓扑下。
• 极限行为完全由是否存在宏观面决定，不存在中间状态。
• 图与树之间的双射关系使得可将树的收敛结果转移至图，从而支持主要收敛定理的建立。