[论文解读] On $C^0$-continuity of the spectral norm for symplectically non-aspherical manifolds

Yusuke Kawamoto|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 9

一句话总结

该论文通过扩展Buhovsky-Humilière-Seyfaddini的方法，建立了辛非退化流形（包括复射影空间和负单调辛流形）上谱范数的$C^0$-连续性。该工作为$\mathbb{C}P^n$提供了谱范数$C^0$-连续性的替代证明，并证明了有理辛流形上部分$C^0$-连续性，其应用涵盖$C^0$-辛拓扑领域，如Arnold猜想和位移圆盘问题。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the relation between the $C^0$-topology and the topology induced by the spectral norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed symplectic manifold. Following the approach of Buhovsky-Humilière-Seyfaddini, we prove the $C^0$-continuity of the spectral norm for complex projective spaces and negative monotone symplectic manifolds. The case of complex projective spaces provides an alternative approach to the $C^0$-continuity of the spectral norm proven by Shelukhin. We also prove a partial $C^0$-continuity of the spectral norm for rational symplectic manifolds. Some applications such as the Arnold conjecture in the context of $C^0$-symplectic topology are also discussed.

研究动机与目标

• 在辛非退化流形上建立谱范数的$C^0$-连续性，扩展先前关于辛退化流形及特定情形的结果。
• 使用Buhovsky-Humilière-Seyfaddini方法，为复射影空间$\mathbb{C}P^n$提供谱范数$C^0$-连续性的替代证明。
• 将谱范数的$C^0$-连续性结果推广至负单调辛流形，并证明有理辛流形上谱不变量的部分$C^0$-连续性。
• 将连续性结果应用于$C^0$-辛拓扑，包括$C^0$-Arnold猜想和位移圆盘问题。
• 通过$C^0$极限定义哈密顿同胚的谱不变量，将谱理论扩展至光滑哈密顿微分同胚之外。

提出的方法

• 通过分析哈密顿微分同胚在$C^0$极限下的谱不变量，将Buhovsky-Humilière-Seyfaddini的方法适应于非退化情形。
• 利用PSS同构将量子同调与弗洛尔同调关联，从而通过作用过滤定义谱不变量。
• 应用谱不变量的三角不等式$\sigma_{a,a* b}$，其来源于不等式$\sigma_{a,a* b}(\phi\psi) \leq \sigma_{a,a* b}(\phi) + \gamma(\psi)$，其中$\gamma$为谱范数。
• 通过使用在固定点集邻域$U$之外具有紧支集的$C^2$-小函数$f$的扰动论证，控制$C^0$-变形下的谱不变量。
• 利用[BHS18b]中的关键结论：当$\phi_{H_k} \to \phi$在$C^0$意义下收敛时，对充分小的$\varepsilon_0$和充分大的$k$，有$c(H_k \# \varepsilon_0 f, a) = c(H_k, a)$，确保谱不变量在小扰动下保持稳定。
• 通过取哈密顿微分同胚$C^0$收敛序列的极限，建立$\sigma_{a,a* b}$的$C^0$-连续性，从而将其推广至哈密顿同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱范数在辛非退化流形（如$\mathbb{C}P^n$和负单调流形）上是否具有$C^0$-连续性？
• RQ2 能否使用Buhovsky-Humilière-Seyfaddini方法独立于Shelukhin的方法，重新证明$\mathbb{C}P^n$上谱范数的$C^0$-连续性？
• RQ3 谱不变量在有理辛流形上的$C^0$-连续性程度如何？
• RQ4 谱不变量的$C^0$-连续性如何用于定义哈密顿同胚的不变量？
• RQ5 $C^0$-连续性对$C^0$-辛拓扑（如$C^0$-Arnold猜想和位移圆盘问题）有何影响？

主要发现

• 谱范数$\gamma$在负单调辛流形上具有$C^0$-连续性，扩展了辛退化流形上的结果。
• 为$\mathbb{C}P^n$建立了谱范数$C^0$-连续性的替代证明，独立于Shelukhin的原始证明。
• 在适当同调类条件下，证明了有理辛流形上谱不变量$\sigma_{a,a* b}$的部分$C^0$-连续性。
• $\sigma_{a,a* b}$谱不变量可通过$C^0$极限连续延拓至哈密顿同胚，从而实现谱理论的$C^0$版本。
• $\gamma$和$\sigma_{a,a* b}$的$C^0$-连续性意味着：若哈密顿同胚$\phi$满足$\sigma_{h^{l_1},h^{l_2}}(\phi) = 0$，则其不动点集必须具有同调非平凡支撑，从而推出$C^0$-Arnold猜想。
• 通过证明：若哈密顿同胚$\phi$满足$\sigma_{h^{l_1},h^{l_2}}(\phi) = 0$，则$\mathrm{Fix}(\phi)$的任意开邻域均具有同调非平凡性，从而解决了位移圆盘问题，即无法实现小位移。