[论文解读] On $C^*$-algebras Associated to Certain Endomorphisms of Discrete Groups

Ilan Hirshberg|ArXiv.org|Dec 28, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 15

一句话总结

本文构造了一个C*-代数${\cal E}_\alpha$，由离散可约群$G$的左正则表示和一个与有限指标像的单射同态$\alpha: G \to G$相关的等距算子$S$生成。证明表明，若$\alpha$是纯的且完全正规的，则${\cal E}_\alpha$是单的，方法是利用一个保持规范的子代数以及涉及Gelfand变换和类似分形空间上的谱分析的表示论技术。

ABSTRACT

Let α:G --> G be an endomorphism of a discrete amenable group such that [G:α(G)]

研究动机与目标

• 研究由$G$上的左卷积算子和由单射同态$\alpha: G \to G$（满足$[G: \alpha(G)] < \infty$）诱导的等距算子生成的C*-代数的结构。
• 通过引入满足特定交换关系和投影关系的普遍C*-代数${\cal E}_\alpha$，将半交叉积构造推广到非可逆同态的情形。
• 建立${\cal E}_\alpha$为单代数的条件，特别是当$G$为可约群且$\alpha$为纯的且完全正规时。
• 分析保持规范的子代数${\cal F}$作为群胚C*-代数的直极限，并通过类似分形空间的无限序列空间将其与代数的谱联系起来。

提出的方法

• 将${\cal E}_\alpha$定义为由$\mathbb{C}G$和满足对所有$x \in G$有$S\delta_x = \delta_{\alpha(x)}S$的等距算子$S$生成的普遍C*-代数。
• 通过$\gamma_t(S) = tS$，$\gamma_t(a) = a$（$a \in \mathbb{C}G$）定义${\cal E}_\alpha$上的$\mathbb{T}$-作用$\gamma_t$，并定义保持规范的子代数${\cal F} = \{ a \in {\cal E}_\alpha \mid \gamma_t(a) = a \}$。
• 证明${\cal F}$是元素$\delta_x P_n \delta_y$的闭线性张，其中$P_n = S^n S^{*n}$，并识别${\cal F}_n$为$D \times G$的群胚C*-代数，其中$D$是$G$中$\alpha^n(G)$的右陪集对的群胚。
• 使用三元组记号$(x,k,y) = \delta_{x\alpha^n(k)} P_n \delta_y$描述${\cal F}_n$中的乘法，其复合规则为：若$y = z^{-1}$，则$(x,k,y)(z,l,w) = (x,kl,w)$，否则为零。
• 在$L^2(\hat{{\cal A}}, \nu)$上构造${\cal E}_\alpha$的表示$\pi$，其中$\hat{{\cal A}}$是保持规范子代数的谱，并利用Gelfand变换分析$E(a)$的谱。
• 利用与$R_1^{\mathbb{N}}$中无限序列相关的特征函数序列$\chi_{B_n}$，证明$\|\pi(a)\| \geq |\widehat{E(a)}(\omega)|$对几乎所有$\omega$在谱中成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由群的左正则表示和来自同态的等距算子生成的C*-代数${\cal E}_\alpha$是单的？
• RQ2 保持规范的子代数${\cal F}$如何分解，其结构如何用群胚C*-代数描述？
• RQ3 无限序列的非尾相交集合在${\cal E}_\alpha$的表示谱分析中起什么作用？
• RQ4 期望映射$E: {\cal E}_\alpha \to {\cal F}$如何与表示相互作用，为何其忠实性对单性证明至关重要？
• RQ5 ${\cal E}_\alpha$的结构能否通过群胚构造描述，这与本质主性的概念有何关联？

主要发现

• 保持规范的子代数${\cal F}$同构于代数${\cal K}(l^2(\alpha^n(G)\backslash G)) \otimes C^*(G)$的归纳极限，包含映射$\iota_n: {\cal F}_n \to {\cal F}_{n+1}$由$\iota_n((x,k,y)) = (x,\alpha(k),y)$给出。
• $R_1^{\mathbb{N}}$中非尾相交序列的集合在不变测度$\mu$下是稠密且满测度的，这确保了谱分析的普遍性。
• 对${\cal E}_\alpha$的任意表示$\pi$，不等式$\|\pi(a)\| \geq |\widehat{E(a)}(\omega)|$在谱的稠密子集中对$\omega$成立，这是证明单性的关键。
• ${\cal E}_\alpha$是单的，当$G$为可约群且$\alpha$为纯的且完全正规时，因为任何非零表示都必须是忠实的，这源于$E$的忠实性以及$\ker(\pi)$在$E$下的不变性。
• $\hat{{\cal A}}$的谱支持一个测度$\nu$，使得$\widehat{E(a)}(\omega) = \lim_{n \to \infty} \langle \pi(\chi_{B_n} a \chi_{B_n}) \xi_0, \xi_0 \rangle$，将Gelfand变换与同态的动力学联系起来。
• 该构造等价于在类似分形空间$\hat{{\cal A}}$上由$\mathbb{Z}$作用的变换群胚的C*-代数，所得群胚本质上是主的，且无非平凡的不变子集。