[论文解读] On C*-algebras Associated with Sofic Shifts

Toke Meier Carlsen|ArXiv.org|Sep 14, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 19

一句话总结

该论文证明了对于任意Sofic移位Λ，Matsumoto的C*-代数𝒪_Λ同构于Λ的左Krieger覆盖图所对应的Cuntz-Krieger代数。该同构通过通用性质构造，通过在两个代数之间定义互逆的*-同态实现，利用了左Krieger覆盖的结构以及𝒪_Λ的生成部分等距算子。

ABSTRACT

We show that for a sofic shift Lambda, Matsumoto's C*-algebra O_Lambda is isomorphic to the Cuntz-Krieger algebra of the left Krieger cover graph of Lambda.

研究动机与目标

• 解决关于Sofic移位Λ的Matsumoto的C*-代数𝒪_Λ是否同构于其左Krieger覆盖图的Cuntz-Krieger代数的开放性问题。
• 在Sofic移位上建立Matsumoto代数与Cuntz-Krieger代数两种C*-代数构造之间的结构联系。
• 证明两个代数的K₀和K₁不变量一致，并进一步构造一个完整的*-同构。
• 利用C*-代数的通用性质，定义并验证两个代数之间的互逆*-同态。
• 证明左Krieger覆盖图的代数结构完全捕捉了Sofic移位的C*-代数结构。

提出的方法

• 通过将生成元s_e映射为S_{ℒ(e)}E_{r(e)}，从Cuntz-Krieger代数𝒪_{B_Λ}构造一个*-同态ϕ到Matsumoto代数𝒪_Λ。
• 通过将S_i映射为∑_{ℒ(e)=i} s_e，E_{r(e)}映射为s_e^*s_e，从𝒪_Λ构造一个对偶的*-同态ψ到𝒪_{B_Λ}。
• 利用Cuntz-Krieger代数的通用性质，基于生成元满足的关系，确保这些同态的存在性。
• 通过部分等距的正交性和范围投影，验证复合映射ϕ∘ψ和ψ∘ϕ在各自代数上为恒等映射。
• 利用左Krieger覆盖图的左解析性质，确保生成元的乘法和伴随关系的一致性。
• 利用𝒟_Λ与移位空间上特征函数代数之间的同构，将𝒪_Λ中的投影与移位空间中的可测集联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sofic移位Λ的Matsumoto的C*-代数𝒪_Λ是否同构于其左Krieger覆盖图的Cuntz-Krieger代数？
• RQ2 在左Krieger覆盖结构下，Cuntz-Krieger代数与Matsumoto代数的通用关系是否一致？
• RQ3 两个代数的K₀和K₁不变量能否被提升为一个完整的*-同构？
• RQ4 左Krieger覆盖图是否为Sofic移位的C*-代数提供了完整的代数模型？
• RQ5 能否通过左Krieger覆盖，系统地将𝒪_Λ的生成部分等距算子提升为Cuntz-Krieger代数的生成元？

主要发现

• 与Sofic移位Λ相关的C*-代数𝒪_Λ同构于其左Krieger覆盖图的Cuntz-Krieger代数𝒪_{B_Λ}。
• 该同构通过两个互逆的*-同态显式构造：ϕ: 𝒪_{B_Λ} → 𝒪_Λ 和 ψ: 𝒪_Λ → 𝒪_{B_Λ}。
• 映射ψ将S_i发送到∑_{ℒ(e)=i} s_e，E_{r(e)}发送到s_e^*s_e，保持Cuntz-Krieger代数的通用关系。
• 映射ϕ将s_e发送到S_{ℒ(e)}E_{r(e)}，且复合映射ϕ∘ψ在𝒪_Λ上作用为恒等映射，这是由正交性和投影关系所保证的。
• 复合映射ψ∘ϕ在𝒪_{B_Λ}上作用为恒等映射，确认ϕ和ψ互为逆同构。
• 证明依赖于左Krieger覆盖图的左解析性质，以确保部分等距的乘法和伴随关系的一致性。