[论文解读] On Calabi-Yau Complete Intersections in Toric Varieties

Victor V. Batyrev, Lev Borisov|ArXiv.org|Dec 18, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文建立了toric Fano代数簇中Calabi-Yau完全交的弦论Hodge数与相关多面体组合对偶性之间的对偶性，验证了镜像对称的关键预测。结果表明，弦论Hodge数 $ h^{0,q}_{\rm st}(V) $ 和 $ h^{1,q}_{\rm st}(V) $ 与MPCP-光滑化 $ \widehat{V} $ 的普通Hodge数一致，从而通过toric方法将代数几何与镜像对称联系起来。

ABSTRACT

We investigate Hodge-theoretic properties of Calabi-Yau complete intersections $V$ of $r$ semi-ample divisors in $d$-dimensional toric Fano varieties having at most Gorenstein singularities. Our main purpose is to show that the combinatorial duality proposed by second author agrees with the duality for Hodge numbers predicted by mirror symmetry. It is expected that the complete verification of mirror symmetry predictions for singular Calabi-Yau varieties $V$ of arbitrary dimension demands considerations of so called {\em string-theoretic Hodge numbers} $h^{p,q}_{ m st}(V)$. We restrict ourselves to the string-theoretic Hodge numbers $h^{0,q}_{ m st}(V)$ and $h^{1,q}_{ m st}(V)$ $(0 \leq q \leq d-r) which coincide with the usual Hodge numbers $h^{0,q}(\widehat{V})$ and $h^{1,q}(\widehat{V})$ of a $MPCP$-desingularization $\widehat{V}$ of $V$.

研究动机与目标

• 研究具有至多Gorenstein奇点的toric Fano代数簇中Calabi-Yau完全交的Hodge理论性质。
• 验证Borisov提出的关于反射Gorenstein锥的组合对偶性是否与镜像对称对Hodge数的预测一致。
• 建立弦论Hodge数 $ h^{0,q}_{\rm st}(V) $ 和 $ h^{1,q}_{\rm st}(V) $ 与MPCP-光滑化 $ \widehat{V} $ 的Hodge数之间的对应关系。
• 通过Hodge数的显式计算，为奇异Calabi-Yau代数簇背景下镜像对称的一致性提供证据。

提出的方法

• 利用与toric Fano代数簇相关的反射Gorenstein锥的组合对偶性来定义镜像对。
• 应用MPCP（最大投影共形部分）光滑化概念来解决Calabi-Yau完全交的奇点问题。
• 通过环面基空间的几何结构与半正则除子，计算弦论Hodge数 $ h^{0,q}_{\rm st}(V) $ 和 $ h^{1,q}_{\rm st}(V) $。
• 将弦论Hodge数与光滑化代数簇 $ \widehat{V} $ 的标准Hodge数 $ h^{0,q}(\widehat{V}) $ 和 $ h^{1,q}(\widehat{V}) $ 进行比较。
• 运用代数几何与toric几何的工具，包括半正则除子与Gorenstein toric Fano代数簇的使用。
• 依赖于基空间环面的对偶多面体之间的对偶性，以关联镜像对的Hodge数。

实验结果

研究问题

• RQ1 反射Gorenstein锥的组合对偶性是否与镜像对称在Hodge数上的对偶性一致？
• RQ2 奇异Calabi-Yau完全交 $ V $ 的弦论Hodge数 $ h^{0,q}_{\rm st}(V) $ 和 $ h^{1,q}_{\rm st}(V) $ 是否与其中MPCP-光滑化 $ \widehat{V} $ 的Hodge数一致？
• RQ3 对于具有Gorenstein奇点的toric Fano代数簇中的Calabi-Yau完全交，镜像对称预测的Hodge数对偶性是否可被验证？
• RQ4 在镜像对称背景下，弦论Hodge数在toric奇点光滑化下的行为如何？

主要发现

• 对于 $ 0 \leq q \leq d-r $，弦论Hodge数 $ h^{0,q}_{\rm st}(V) $ 和 $ h^{1,q}_{\rm st}(V) $ 与MPCP-光滑化 $ \widehat{V} $ 的标准Hodge数 $ h^{0,q}(\widehat{V}) $ 和 $ h^{1,q}(\widehat{V}) $ 完全一致。
• Borisov提出的反射Gorenstein锥的组合对偶性被证明与镜像对称预测的Hodge数对偶性一致。
• 在具有Gorenstein奇点的奇异toric代数簇情况下，镜像Calabi-Yau完全交的Hodge数对偶性得到验证。
• 结果支持弦论Hodge数是奇异Calabi-Yau代数簇在镜像对称中应使用的正确不变量这一观点。