[论文解读] On Cannon-Thurston maps for relatively hyperbolic groups

Yoshifumi Matsuda, Shin-ichi Oguni|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明了，对于任意非初等的相对超曲群 $G$（相对于一个共轭不变的无限真子群族 $χ$），存在一个包含 $G$ 的超曲群 $G'$，使得从 $∂(G,χ)$ 到 $∂(G',χ')$ 的Cannon-Thurston映射不存在。该构造利用了超曲嵌入子群，并借助Baker与Riley关于秩为3的自由群的结果，将非存在性现象推广至自由群之外的群。

ABSTRACT

Baker and Riley proved that a free group of rank 3 can be contained in a hyperbolic group as a subgroup for which the Cannon-Thurston map is not well-defined. By using their result, we show that the phenomenon occurs for not only a free group of rank 3 but also every non-elementary hyperbolic group. In fact it is shown that a similar phenomenon occurs for every non-elementary relatively hyperbolic group.

研究动机与目标

• 将Baker与Riley关于秩为3的自由群的结果推广至所有非初等的相对超曲群。
• 表明Cannon-Thurston映射的非存在性不仅限于自由群，而是可扩展至所有非初等的超曲群与相对超曲群。
• 构造显式例子，给出包含 $G$ 的超曲群 $G'$，使得尽管 $G$ 是相对超曲群且 $\mathfrak{H} \subset \mathfrak{H}'$，Cannon-Thurston映射仍不成立。
• 建立Cannon-Thurston映射的失败与 $G$ 在 $G'$ 中缺乏相对拟凸性的关联。

提出的方法

• 利用Baker与Riley的结果：秩为3的自由群存在一个超曲扩张群，使得Cannon-Thurston映射未定义。
• 构造一个超曲群 $G'$，使其包含 $G$ 作为子群，且 $χ'$ 是扩展 $χ$ 的共轭不变子群族，使得 $G'$ 相对于 $χ'$ 是超曲的。
• 应用超曲嵌入子群理论与几何有限收敛作用理论，分析极限集与边界映射。
• 通过反证法证明不存在 $G$-等变连续边界映射：假设此类映射存在，将与超曲子群的Gromov边界之间不存在等变映射的结论矛盾。
• 利用强拟凸子群相对于旁系结构具有与Gromov边界同胚的边界映射这一事实，而该性质在构造情形下不成立。
• 证明若 $G$ 相对于 $χ'$ 是拟凸的，则边界映射将存在，与构造矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将此前仅在秩为3的自由群中证明的Cannon-Thurston映射非存在性，推广至所有非初等的相对超曲群？
• RQ2 对于任意非初等的相对超曲群 $G$，是否存在一个超曲扩张群 $G'$，使得Cannon-Thurston映射不成立？
• RQ3 在 $χ \subset χ'$ 的前提下，哪些 $G$ 与 $G'$ 的条件会阻止存在 $G$-等变连续边界映射？
• RQ4 Cannon-Thurston映射的失败是否等价于 $G$ 在 $G'$ 中缺乏相对拟凸性？
• RQ5 具有几何无限收敛作用的空间能否作为具有几何有限作用的空间的逆极限出现？

主要发现

• 对于任意非初等的相对超曲群 $G$（相对于 $χ$），存在一个包含 $G$ 的超曲群 $G'$，使得 $G$ 在 $G'$ 中相对于 $χ'$ 不是拟凸的。
• 从 $∂(G,χ)$ 到 $∂(G',χ')$ 的Cannon-Thurston映射不成立，即使每个 $H \in χ$ 都共轭于 $χ'$ 中的某个 $H'$。
• 该构造将Baker与Riley关于秩为3的自由群的结果推广至所有非初等的相对超曲群。
• 极限集 $\Lambda(G, \partial(G',\mathfrak{H}'))$ 不能是 $\partial(G,\mathfrak{H})$ 到 $G$-等变连续映射的像，从而表明边界映射不存在。
• 空间 $Y = \Lambda(G, \partial(G',\mathfrak{H}'))$ 无法表示为具有 $G$ 的几何有限收敛作用的紧致度量空间的逆极限，因为边界映射不成立。
• 边界 $X = \partial(G,\mathfrak{H})$ 与 $Y = \Lambda(G, \partial(G',\mathfrak{H}'))$ 的公共展开（blow-up）不存在，因为这将强制Cannon-Thurston映射存在。