[论文解读] On Cantor-like sets and Cantor-Lebesgue singular functions

Robert DiMartino, Wilfredo Urbina|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 17

一句话总结

本文通过在每一步迭代中以可变比例移除区间，构造了多种类似康托尔集的集合，推广了经典的康托尔集和康托尔-勒贝格奇异函数。推导了豪斯多夫维数的显式公式，并利用广义三进制展开在这些集合上构造了连续、单调、奇异的函数，表明正测度的类似康托尔集的豪斯多夫维数为1。

ABSTRACT

In this paper we discuss several variations and generalizations of the Cantor set and study some of their properties. Also for each of those generalizations a Cantor-like function can be constructed from the set. We will discuss briefly the possible construction of those functions.

研究动机与目标

• 通过以可变的区间移除比例构造新的完美、处处无稠密的集合，推广经典的康托尔三分集。
• 分析这些广义类似康托尔集的豪斯多夫维数，特别是当其具有正勒贝格测度时的情况。
• 在这些集合上构造康托尔型函数，使其连续、单调非减，且当集合测度为零时为奇异函数。
• 通过广义的区间长度与重数序列，推广经典的康托尔-勒贝格函数构造方法。

提出的方法

• 通过在每一步迭代中以可变比例移除开区间中间部分，构造类似康托尔集，由序列 {k_n} 和 {c_n} 定义。
• 将广义康托尔集 E^{k,c} 定义为嵌套紧集 C_n 的交集，其中每个 C_n 是 k_n 个长度为 c_n 的闭区间的并集。
• 使用公式 dim_H = log k / (-log a) 推导豪斯多夫维数，其中 a 为相邻区间长度的渐近比值。
• 通过广义三进制展开构造康托尔-勒贝格函数 G^{k,c}：G^{k,c}(∑ε_j r_j) = ∑ε_j h_j，其中 h_j = 1/(k_1⋯k_j)。
• 通过将被移除区间上的函数值设为对应子区间的左端点处的函数值，确保函数的连续性与单调性。
• 通过证明其几乎处处导数为零，证明当底层集合具有勒贝格测度零时，该函数为奇异函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过在每一步以可变比例移除区间的构造方法，广义类似康托尔集的豪斯多夫维数是多少？
• RQ2 如何系统地在广义类似康托尔集上构造奇异、连续、单调的函数？
• RQ3 广义类似康托尔集在何种条件下具有正勒贝格测度，这对它的豪斯多夫维数有何影响？
• RQ4 经典的康托尔-勒贝格函数构造方法能否推广至任意序列 {k_n} 和 {c_n}，以得到一个定义良好、连续的函数？

主要发现

• 中间-β 康托尔集的豪斯多夫维数为 log 2 / (log 2 - log(1 - β))，当 β → 1 时该值等于 1，表明其具有正测度。
• 对于满足 k_n = 2 且 c_n = (1/2)^n ∏_{j=1}^n (1 - β_j) 的广义类似康托尔集，其豪斯多夫维数为 log 2 / (log 2 - log(lim_{n→∞}(1 - β_n)))。
• 广义康托尔-勒贝格函数 G^{k,c} 是连续的、单调非减的，且在每个被移除区间上为常数，满足 G^{k,c}(t + c_{n+1}) = G^{k,c}(t) + h_{n+1}。
• 当底层类似康托尔集具有正勒贝格测度时，其豪斯多夫维数恰好为 1，如广义 SVC(α,β) 集所示，其 dim_H = 1。
• 函数 f(x) = (1/2)∑_{k=1}^∞ ε_k(x)/2^k 建立了标准康托尔集到 [0,1] 的双射，证明了其不可数性。
• 标准康托尔集的勒贝格测度为零，计算结果为 1 - ∑_{n=1}^∞ 2^{n-1}/3^n = 0。