[论文解读] On categories of equivariant D-modules

András C. Lőrincz, Uli Walther|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用 3

一句话总结

本文研究代数簇 X 上具有有限个 G-轨道的 G-等变 D-模，证明其范畴等价于一个有限有关系图的有限维表示范畴。对于如矩阵空间等不可约球对称 G-簇，此类图通常为表示有限型，作者通过扭曲傅里叶变换与矩映射技术，显式描述了特征循环与 Pyasetskii 配对。

ABSTRACT

Let $X$ be a variety with an action by an algebraic group $G$. In this paper we discuss various properties of $G$-equivariant $D$-modules on $X$, such as the decompositions of their global sections as representations of $G$ (when $G$ is reductive), and descriptions of the categories that they form. When $G$ acts on $X$ with finitely many orbits, the category of equivariant $D$-modules is isomorphic to the category of finite-dimensional representations of a finite quiver with relations. We describe explicitly these categories for irreducible $G$-modules $X$ that are spherical varieties, and show that in such cases the quivers are almost always representation-finite (i.e. with finitely many indecomposable representations).

研究动机与目标

• 理解当 G 为半单时，具有有限个 G-轨道的代数簇上 G-等变 D-模的结构。
• 在轨道有限的情况下，将强等变 D-模的范畴描述为一个有限有关系图的表示范畴。
• 通过矩映射，以权重重数的形式分析简单等变 D-模的全局截面。
• 计算不可约球对称 G-簇上简单等变 D-模的特征循环与 Pyasetskii 配对。
• 为对称、反对称及 m×n 矩阵空间等关键例子提供显式的图描述与表示有限性结果。

提出的方法

• 利用 X 在 G 作用下的轨道分解，通过轨道上不可约等变局部系统对简单强等变 D-模进行分类。
• 构造一个有限有关系图，其表示分类 G-等变 D-模的范畴，当 G 作用具有有限个轨道时成立。
• 应用扭曲傅里叶变换，关联对偶空间上的 D-模，并通过傅里叶对偶性计算 Pyasetskii 配对。
• 采用矩映射技术，估计线性半单 G 作用下简单 D-模全局截面中权重重数。
• 利用 Bernstein–Sato 多项式与约化方法分析 D-模结构与特征簇。
• 利用 Riemann–Hilbert 对应关系，并利用在半单 simply connected 情况下强等变性在半单情形下保持不变的性质，将特征簇与轨道的余切丛联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 G 作用于 X 且具有有限个轨道时，如何描述 G-等变 D-模的范畴？
• RQ2 在轨道有限的情况下，分类 G-等变 D-模的有关系图的结构是怎样的？
• RQ3 对于如矩阵空间等不可约球对称 G-簇，对应的图是否通常为表示有限型？
• RQ4 简单等变 D-模的特征循环如何与 G-轨道的余切丛相关？
• RQ5 扭曲傅里叶变换在计算等变 D-模的 Pyasetskii 配对中起什么作用？

主要发现

• 当 G 作用于 X 且具有有限个轨道时，G-等变 D-模的范畴等价于一个有限有关系图的有限维表示范畴。
• 对于不可约球对称 G-簇，如 m×n 矩阵空间、反对称矩阵、对称矩阵以及某些张量积，对应的图几乎总是表示有限型。
• 在 Sp_{2n} ⊗ GL_3 且 n ≥ 3 的情形下，图的顶点为 (r,s)，对应轨道，关系包括零 2-圈，以及在 (3,2) 与 (0,0) 处的孤立顶点。
• 扭曲傅里叶变换将简单 D-模映射如下：S_{3,2} ↦ S_{0,0}，S_{2,2} ↦ S_{1,0}，S_{3,0} ↦ S_{2,0}，此映射确定了 Pyasetskii 配对。
• 每个简单等变 D-模 S_{r,s} 的特征簇是不可约的，且等于轨道 O_{r,s} 的余切丛的闭包，即 charC(S_{r,s}) = [T^*_{O_{r,s}}X]。
• 对于线性半单、拓扑连通的 G 与光滑 X，简单 D-模全局截面中权重的重数受矩映射像的限制，从而可基于几何不变量提供估计。