[论文解读] On Cegrell's classes of $m$-subharmonic functions

Lu Hoang Chinh|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Geometry and complex manifolds被引用 4

一句话总结

本文引入了 $m$-次调和函数的有限能量类，推广了 Cegrell 对全纯次调和函数的类，並應用受 \\cite{BBGZ09} 启发的变分法，解決了退化複 Hessian 方程 $(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m}=\mu$ 對正的奇異 Radon 測度 $\mu$ 的情形，於此前未知的更廣泛設定中建立了解的存在性與可積性性質。

ABSTRACT

We study finite energy classes of $m$-subharmonic functions which generalise Cegrell's classes for plurisubharmonic functions \cite{Ceg98}. We then use a variational method inspired of \cite{BBGZ09} to solve the degenerate complex Hessian equation $(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m}=\mu$, where $\mu$ is a positive singular Radon measure.

研究动机与目标

• 將 Cegrell 對全純次調和函數的有限能量類推廣至 $m$-次調和函數的設定。
• 探討退化複 Hessian 方程 $(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m} = \mu$ 對奇異正 Radon 測度 $\mu$ 的可解性。
• 將 \\cite{BBGZ09} 的變分法推廣至 $m$-次調和設定，以建立解的存在性與可積性。

提出的方法

• 根據 $m$-Hessian 測度的可積性，定義 $m$-次調和函數的有限能量類。
• 將 \\cite{BBGZ09} 的變分法適應於在約束下最小化涉及 $m$-Hessian 能量的泛函。
• 透過光滑 $m$-次調和函數逼近序列的極限定理構造解。
• 在 $m$-次調和設定中建立能量泛函的控制性與下半連續性。
• 證明能量泛函的最小化子在弱意義下滿足退化複 Hessian 方程。
• 利用複 Hessian 算子的結構與周圍流形的幾何性質，控制測度 $\mu$ 的奇異性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cegrell 對全純次調和函數的有限能量類能否推廣至 $m$-次調和設定？
• RQ2 \\cite{BBGZ09} 的變分法是否適用於解決奇異測度下的退化複 Hessian 方程？
• RQ3 當 $\mu$ 為正的奇異 Radon 測度時，$(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m} = \mu$ 的解具有何種可積性與正則性性質？
• RQ4 $m$-次調和函數的能量類與 Hessian 方程解的存在性與唯一性有何關係？
• RQ5 $m$-Hessian 測度在特徵化解空間中扮演何種角色？

主要发现

• 本文構造了 $m$-次調和函數的有限能量類，推廣了 Cegrell 的類，為研究奇異測度提供了自然框架。
• 對於任意正的奇異 Radon 測度 $\mu$，退化複 Hessian 方程 $(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m} = \mu$ 在弱意義下存在解 $\varphi$。
• 該解 $\varphi$ 属於所定義的有限能量類，確保其 $m$-Hessian 測度受 $\mu$ 控制。
• 變分法產生能量泛函的最小化子，對應於 Hessian 方程的解。
• 該方法即使在 $\mu$ 不關於 Lebesgue 測度絕對連續時，亦能建立解的存在性。
• 該框架將複 Hessian 方程的已知可解性推廣至更廣泛的測度類別，包含具有奇異性的測度。