[论文解读] On certain arithmetic functions involving exponential divisors

László Tóth|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 18

一句话总结

本文研究涉及指数因子和指数互素整数的算术函数，引入并分析了 $\phi^{(e)}(n)$、$\tilde{\sigma}(n)$ 和 $\tilde{P}(n)$ 等函数，重点研究其渐近平均值和最大阶。文章为这些函数的求和函数建立了精确的渐近公式，并推导出 $\tilde{P}(n)$ 的最大阶，表明 $\limsup_{n\to\infty} \frac{\tilde{P}(n)}{n\log\log n} = \frac{6}{\pi^2}e^\gamma$。该工作通过狄利克雷级数和乘法函数技巧，推广了关于 $k$-自由和无平方因子整数的先前结果。

ABSTRACT

The integer $d$ is called an exponential divisor of $n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}>1$ if $d=\prod_{i=1}^r p_i^{c_i}$, where $c_i \mid a_i$ for every $1\le i \le r$. The integers $n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, m=\prod_{i=1}^r p_i^{b_i}>1$ having the same prime factors are called exponentially coprime if $(a_i,b_i)=1$ for every $1\le i\le r$. In the paper we investigate asymptotic properties of certain arithmetic functions involving exponential divisors and exponentially coprime integers.

研究动机与目标

• 研究涉及指数因子的算术函数的渐近行为，包括 $\phi^{(e)}(n)$、$\tilde{\sigma}(n)$ 和 $\tilde{P}(n)$。
• 通过研究求和函数 $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$，推广关于 $k$-自由和指数无平方因子整数的结果。
• 确定 $\tilde{P}(n)$ 的最大阶，并为 $\phi^{(e)}(n)$、$\tilde{\sigma}(n)$ 和 $\tilde{P}(n)$ 的平均阶建立精确的渐近公式。
• 探讨与 $\varphi_e(n)$ 的阶、$\tilde{\sigma}(n)$ 的最小阶以及 $\omega(\phi^{(e)}(n))$ 的最大阶相关的开放问题。

提出的方法

• 本文使用乘法函数理论和狄利克雷级数分析 $\tilde{P}(n)$，推导出其狄利克雷级数表示 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\tilde{P}(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)\zeta(2s-1)}{\zeta(3s-2)} W(s)$，其中 $W(s)$ 在 $\operatorname{Re}(s) > 3/4$ 时绝对收敛。
• 利用 Sita Ramaiah 和 Suryanarayana 的一般结果来估计 $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$，依赖于 Walfisz 对 $k$-自由整数的估计。
• 对于 $\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$，方法包括分部求和，并对满足 $0 < g(n) \leq 1$ 的 $g(n) = (\tilde{\sigma}(n)/n)^u$ 进行有界处理，应用引理 2 时取 $k=2$，$\beta = u$。
• 通过 Tóth 和 Wirsing 的一般结果推导 $\tilde{P}(n)$ 的最大阶，将其应用于 $f(n) = \tilde{P}(n)/n$，其中 $f(p^2) = 1 + 1/p$ 且 $\rho(p) = 1 + 1/p$。
• $\phi^{(e)}(n)$ 被证明是乘法函数，且仅依赖于 $n$ 的立方核，满足 $\phi^{(e)}(p^a) = \phi(a)$，从而可应用已知的乘法函数技术。
• 本文使用分部求和法和对 $\sum_{mn^2 \leq x} mn$ 的估计，推导出 $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$ 的渐近公式，借鉴了 Pétermann 和 Wu 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么是 $\phi^{(e)}(n)$ 的平均阶，其渐近展开中的常数是什么？
• RQ2 当 $u > 1/3$ 时，$\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$ 的渐近行为如何，误差项是什么？
• RQ3 $\tilde{P}(n)$ 的最大阶是什么，它与 $n\log\log n$ 的关系如何？
• RQ4 $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$ 的渐近公式是什么，其主项中的常数 $C_4$ 是什么？
• RQ5 $\Omega(\phi^{(e)}(n))$ 的最大阶是什么，它在哪些 $n$ 上取得？

主要发现

• 和 $\sum_{n\leq x} \phi^{(e)}(n)$ 的渐近展开为 $C_1 x + C_2 x^{1/3} + O(x^{1/5 + \varepsilon})$，对任意 $\varepsilon > 0$ 成立，其中常数 $C_1$ 和 $C_2$ 通过欧拉乘积明确定义。
• 当 $u > 1/3$ 时，和 $\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$ 满足 $C_3 x^{u+1} + O(x^{u+1/2} \delta(x))$，其中 $\delta(x) = \exp(-A(\log x)^{3/5} (\log\log x)^{-1/5})$，且 $C_3$ 由欧拉乘积给出。
• 和 $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$ 的渐近行为为 $C_4 x^2 + O(x (\log x)^{5/3})$，其中 $C_4 = \frac{1}{2} \prod_p \left(1 + \sum_{a=2}^\infty \frac{\tilde{P}(p^a) - p \tilde{P}(p^{a-1})}{p^{2a}} \right)$。
• $\tilde{P}(n)$ 的最大阶满足 $\limsup_{n\to\infty} \frac{\tilde{P}(n)}{n \log\log n} = \frac{6}{\pi^2} e^{\gamma}$，其中 $\gamma$ 为欧拉常数。
• $\Omega(\phi^{(e)}(n))$ 的最大阶为 $\frac{2}{5} \frac{\log n}{\log\log n}$，当 $n_k = (p_1 \cdots p_k)^5$ 对前 $k$ 个素数时取得。
• 本文通过 Sita Ramaiah 和 Suryanarayana 的技术，推广了 Wu 关于指数无平方因子整数的结果，为 $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$ 推导出渐近公式，适用于 $k \geq 2$。