[论文解读] On certain Cuntz-Pimsner algebras

Alex Kumjian|ArXiv.org|Aug 29, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 7

一句话总结

该论文证明了与希尔伯特 $A$-双模 $E = \mathfrak{H} \otimes_\mathbb{C} A$ 关联的陈-平斯纳代数 $\mathcal{O}_E$ 是简单且纯无穷的，其中 $A$ 是一个分离的单位化 $C^*$-代数，且 $\pi: A \to \mathcal{L}(\mathfrak{H})$ 是一个满足 $\pi(A) \cap \mathcal{K}(\mathfrak{H}) = \{0\}$ 的忠实表示。若 $A$ 是核的且属于归纳类，则 $\mathcal{O}_E$ 是一个单位化基尔伯格代数，其同构类完全由 $A$ 的 $K$-理论和其单位类通过基尔伯格-菲利普斯定理确定。

ABSTRACT

Let $A$ be a separable unital C*-algebra and let $π: A a \Lc(\Hf)$ be a faithful representation of $A$ on a separable Hilbert space $\Hf$ such that $π(A) \cap \Kc(\Hf) = \{0 \}$. We show that $\Oc_E$, the Cuntz-Pimsner algebra associated to the Hilbert $A$-bimodule $E = \Hf \ot_{\C} A$, is simple and purely infinite. If $A$ is nuclear and belongs to the bootstrap class to which the UCT applies, then the same applies to $\Oc_E$. Hence by the Kirchberg-Phillips Theorem the isomorphism class of $\Oc_E$ only depends on the $K$-theory of $A$ and the class of the unit.

研究动机与目标

• 分析希尔伯特 $A$-双模 $E = \mathfrak{H} \otimes_\mathbb{C} A$ 关联的陈-平斯纳代数 $\mathcal{O}_E$ 的结构，其中 $A$ 的左作用避开紧算子。
• 在 $\pi(A) \cap \mathcal{K}(\mathfrak{H}) = \{0\}$ 的条件下，建立 $\mathcal{O}_E$ 的简单性与纯无穷性。
• 证明若 $A$ 是核的且属于归纳类，则 $\mathcal{O}_E$ 是一个单位化基尔伯格代数，因此其同构类由其 $K$-理论和单位类完全确定。
• 证明 $\mathcal{O}_E \cong \mathcal{T}_E$，且包含映射 $A \hookrightarrow \mathcal{O}_E$ 诱导一个 $KK$-等价。

提出的方法

• 利用 $\mathcal{T}_E$ 作为 $E$ 的福克空间上的算子的构造，配备一个规范作用 $\lambda: \mathbb{T} \to \mathrm{Aut}(\mathcal{T}_E)$。
• 应用塔凯西-竹中对偶性，将 $\mathcal{O}_E \otimes \mathcal{K}(L^2(\mathbb{T}))$ 与双交叉积 $({\mathcal{O}}_E \rtimes_\lambda \mathbb{T}) \rtimes_{\hat{\lambda}} \mathbb{Z}$ 联系起来。
• 应用罗尔达姆关键引理的一个版本，适用于 $\mathbb{Z}$-作用的交叉积，且要求对偶作用的康奈斯谱为全集，这需要对偶作用的谱为全集。
• 利用 $\mathcal{O}_E$ 可等变地嵌入双交叉积的事实，使得该引理可应用于 $\mathcal{O}_E$。
• 应用基尔伯格-菲利普斯定理，得出当 $A$ 是核的且属于归纳类时，$\mathcal{O}_E$ 的同构类由 $K_*(A)$ 和 $[1_A]$ 完全确定。
• 利用 $\mathcal{O}_E \cong \mathcal{T}_E$ 以及包含映射 $A \hookrightarrow \mathcal{O}_E$ 诱导 $KK$-等价的事实，依据平斯纳的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与 $E = \mathfrak{H} \otimes_\mathbb{C} A$ 关联的陈-平斯纳代数 $\mathcal{O}_E$ 是简单且纯无穷的？
• RQ2 陈-平斯纳代数 $\mathcal{O}_E$ 何时成为一个单位化基尔伯格代数？
• RQ3 当 $A$ 是核的且属于归纳类时，$A$ 的 $K$-理论如何决定 $\mathcal{O}_E$ 的同构类？
• RQ4 康奈斯谱在证明 $\mathcal{O}_E$ 的简单性与纯无穷性中起什么作用？
• RQ5 在左作用非紧致的情形下，$\mathcal{O}_E$ 的结构能否与约化自由积或并联自由积相关联？

主要发现

• 当 $A$ 是一个分离的单位化 $C^*$-代数，且 $\pi: A \to \mathcal{L}(\mathfrak{H})$ 是一个满足 $\pi(A) \cap \mathcal{K}(\mathfrak{H}) = \{0\}$ 的忠实表示时，陈-平斯纳代数 $\mathcal{O}_E$ 是简单且纯无穷的。
• 若 $A$ 是核的且属于归纳类，则 $\mathcal{O}_E$ 是一个单位化基尔伯格代数，因此其同构类完全由 $K_*(A)$ 和类 $[1_A]$ 决定。
• $\mathcal{O}_E \cong \mathcal{T}_E$，因为 $A$ 在 $E$ 上的左作用与紧算子有平凡交集，依据平斯纳的推论 3.14。
• 包含映射 $A \hookrightarrow \mathcal{O}_E$ 诱导一个 $KK$-等价，这意味着存在一个保持单位的同构 $K_*(A) \cong K_*(\mathcal{O}_E)$。
• 当 $A = C(X)$，$X$ 为第二可数紧致空间，$\mu$ 为具有全支撑的非原子博雷尔测度时，$\mathcal{O}_E$ 是一个单位化基尔伯格代数，其同构类仅依赖于 $(K_*(C(X)), [1_{C(X)}])$，而不依赖于 $\mu$。
• 若 $X$ 是可缩的，则 $\mathcal{O}_E \cong \mathcal{O}_\infty$，即普遍的单位化纯无穷 $C^*$-代数。