[论文解读] On certain integral functionals of squared Bessel processes

Umut Çeti̇n|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用 2

一句话总结

本文推导了平方 Bessel 过程的积分泛函及其首次 hitting 时间的联合 Laplace 变换，从而实现了精确的小球概率渐近分析，并建立了类似 Chung 的 iterated logarithm 定律。此外，本文表征了时间倒转后积分泛函的无穷小生成元为非齐次纯跳跃马尔可夫过程，其在定价奇异利率衍生品及平价附近看跌期权的渐近价值方面具有应用价值。

ABSTRACT

Let $X$ be a squared Bessel process. Following a Feynman-Kac approach, the Laplace transforms of joint laws of $(U, \int_0^{R_y}X_s^p\,ds)$ are studied where $R_y$ is the first hitting time of $y$ by $X$ and $U$ is a random variable measurable with respect to the history of $X$ until $R_y$. A subset of these results are then used to solve the associated small ball problems for $\int_0^{R_y}X_s^p\,ds$ and determine a Chung's law of iterated logarithm. $(\int_0^{R_y}X_s^p\,ds)$ is also considered as a purely discontinuous increasing Markov process and its infinitesimal generator is found. The findings are then used to price a class of exotic derivatives on interest rates and determine the asymptotics for the prices of some put options that are only slightly in-the-money.

研究动机与目标

• 推导平方 Bessel 过程 X 的 (U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) 的联合 Laplace 变换，其中 U 是 F_{R_y}-可测的，R_y 是 y 的首次 hitting 时间。
• 确定当 ε → 0 时，积分泛函 ∫₀^{R_y} X_s^p ds 的小球概率，进而导出类似 Chung 的 iterated logarithm 定律。
• 表征时间倒转过程 Z^δ_x = ∫_{L_{1-x}}^{L_1} X_s^p ds 的无穷小生成元，表明其为非齐次纯跳跃马尔可夫过程。
• 将结果应用于推导奇异利率衍生品的渐近价格，特别是略微实值的看跌期权。
• 建立时间倒转积分泛函与线性布朗运动 hitting 时间之间的联系，当 δ = 4 时成立。

提出的方法

• 使用鞅方法和 Feynman-Kac 类似论证，通过涉及修正贝塞尔函数的二阶常微分方程的解，推导 (U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) 的联合 Laplace 变换。
• 应用 Bessel 过程的尺度函数与首达时理论，表征在给定 R_y 之前 X 的最大值或最小值条件下，积分泛函的条件分布。
• 利用修正贝塞尔函数的渐近分析，推导当 ε → 0 时 ∫₀^{R_y} X_s^p ds 的小球概率行为。
• 对过程 (Σ^δ_{p,0,y})_y≥0 应用时间反转，定义 Z^δ_x，并利用 Laplace 变换与尺度函数技术计算其无穷小生成元。
• 利用 (R_y, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) 的联合分布 Laplace 变换进行反演，通过积分表示计算期权价格。
• 将结果应用于推导看跌期权价格的渐近表达式，通过将其与积分泛函的累积分布函数关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于平方 Bessel 过程 X，其中 U 是 R_y 之前滤子的适应过程，(U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) 的联合 Laplace 变换是什么？
• RQ2 当 ε → 0 时，∫₀^{R_y} X_s^p ds 的小球概率行为如何？其隐含的类似 Chung 的 iterated logarithm 定律是什么？
• RQ3 时间倒转过程 Z^δ_x = ∫_{L_{1-x}}^{L_1} X_s^p ds 的无穷小生成元是什么？其与布朗运动 hitting 时间的关系如何？
• RQ4 如何利用推导出的 Laplace 变换计算奇异利率衍生品的渐近价格？
• RQ5 当行权价非常接近 1 时（即略微实值），看跌期权价格的渐近行为如何？

主要发现

• 通过 Laplace 变换表征了 (R_y, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) 的联合分布，显式表达式涉及修正贝塞尔函数 K_ν/(p+1) 和 I_ν/(p+1)。
• 当 |ν|/(p+1) = 1/2 时，给定 X 在 R_y 之前最大值（或最小值）条件下，∫₀^{R_y} X_s^p ds 的条件分布与 3 维 Bessel 过程的首次 hitting 时间相关。
• 当 ε → 0 时，∫₀^{R_y} X_s^p ds 的小球概率满足 −log P(∫₀^{R_y} X_s^p ds < ε) ∼ C ε^{−2(p+1)}，其中 C 依赖于 z 和 y。
• 为过程 (Σ^δ_{p,0,y})_y≥0 建立了类似 Chung 的 iterated logarithm 定律，当 y → ∞ 时，其 lim sup 行为与 y^{1/(p+1)} (log y)^{1/2} 成正比。
• 时间倒转过程 Z^δ_x 的无穷小生成元 ˜A_x 是一个非齐次纯跳跃生成元，显式表达为与包含 (2πb^3)^{-1/2} 的 Lévy 测度的卷积。
• 当 δ = 4（即 ν = 1，p = 1）时，过程 Z^4_x 是一个子ordinator，且在分布上等于标准布朗运动首次 hitting x/2 时间 T_{x/2}。