[论文解读] On certain products of algebraic groups over a finite field

Toshiro Hiranouchi|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明了对于有限域上特征 ≠ 2 的光滑、连通、交换代数群 $G_1, \dots, G_n$，在 $ \operatorname{Spec} F$ 处，互惠函子 $T(G_1, \dots, G_n)$ 恒为零，且麦克凯函子张量积 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ 是有限的。这些结果蕴含了有限域上开曲线乘积的相对 Chow 群 $ \operatorname{CH}_0(X,D)$ 以及阿贝尔基本群的几何部分的有限性，从而将经典类域论推广至更高维情形。

ABSTRACT

Let G_1,...,G_q be algebraic varieties over a finite field k. We show that, if q >1, the finiteness of the tensor product of G_1, ...,G_q as Mackey functors. We apply this to prove the finiteness of a relative Chow group and an abelian fundamental group which classifies abelian coverings with bounded ramification along the boundary.

研究动机与目标

• 证明当 $n \geq 2$ 且 $G_i$ 为有限域 $F$ 上特征 $\neq 2$ 的光滑、连通、交换代数群时，互惠函子 $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F)$ 恒为零。
• 建立此类群的麦克凯函子张量积 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ 的有限性。
• 将这些结果应用于证明：对于有限域上开曲线的乘积 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ 及其边界上的除子 $D$，相对 Chow 群 $ \operatorname{CH}_0(X,D)$ 与阿贝尔基本群 $ \pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ 的几何部分为有限。

提出的方法

• 使用伊沃尔拉与吕林定义的互惠函子 $T(\mathscr{M}_1, \dots, \mathscr{M}_n)$，其中 $\mathscr{M}_i$ 是有限域上光滑、连通、交换代数群的互惠函子。
• 利用麦克凯函子张量积到互惠函子的典范满射：$(\mathscr{M}_1 \otimes_M \cdots \otimes_M \mathscr{M}_n)(\operatorname{Spec} F) \twoheadrightarrow T(\mathscr{M}_1, \dots, \mathscr{M}_n)(\operatorname{Spec} F)$。
• 应用关于 Somekawa $K$-群的已知结果，其在 $n > 1$ 时当群为半阿贝尔时为零，并通过结构理论将其推广至一般光滑、连通、交换群。
• 利用半阿贝尔簇情形下同构关系 $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F) \simeq K(F; G_1, \dots, G_n)$ 推出其为零。
• 利用张量积的有限性，推出相对 Chow 群 $ \operatorname{CH}_0(X,D)$ 的有限性，其中 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ 且 $D$ 是紧化边界上的除子。
• 通过局部类域论与 idele 理论描述，将 $ \operatorname{CH}_0(X,D)$ 与阿贝尔基本群 $ \pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ 联系起来，从而证明其有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G_1, \dots, G_n$ 为有限域上特征 $\neq 2$ 的光滑、连通、交换代数群时，互惠函子 $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F)$ 是否在 $n \geq 2$ 时恒为零？
• RQ2 对于此类群及 $n \geq 2$，麦克凯函子张量积 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ 是否为有限？
• RQ3 对于有限域上开曲线的乘积 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ 及其边界上的除子 $D$，相对 Chow 群 $ \operatorname{CH}_0(X,D)$ 是否仍为有限？
• RQ4 在上述条件下，阿贝尔基本群 $ \pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ 的几何部分是否可被证明为有限？
• RQ5 这些结果在多大程度上将经典类域论从曲线情形推广至更高维的曲线乘积情形？

主要发现

• 当 $n \geq 2$ 且 $G_i$ 为有限域上特征 $\neq 2$ 的光滑、连通、交换代数群时，互惠函子 $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F)$ 在 $ \operatorname{Spec} F$ 处恒为零。
• 对于此类群及 $n \geq 2$，麦克凯函子张量积 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ 为有限。
• 对于有限域上开曲线乘积 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ 及其紧化中边界上的有效除子 $D$，相对 Chow 群 $ \operatorname{CH}_0(X,D)$ 为有限。
• 对于此类 $X$ 与 $D$，阿贝尔基本群 $ \pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ 的几何部分为有限，其根源在于 $ \operatorname{CH}_0(X,D)$ 的有限性与互惠映射。
• 通过相对 Chow 群与基本群的有限性，本结果将经典未分支类域论推广至有限域上开曲线乘积的有分支情形。
• 证明依赖于同构关系 $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F) \simeq K(F; G_1, \dots, G_n)$ 及已知结论：当 $G_i$ 为半阿贝尔时，$K(F; G_1, \dots, G_n)$ 在 $n > 1$ 时为零，本研究将其推广至一般光滑、连通、交换群。