[论文解读] On certain properties of the Weinstein functional on Riemannian manifolds

Mayukh Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 3

一句话总结

本文研究了双曲空间 $ℝ^n$ 上的Weinstein泛函，证明该泛函的上确界值与欧几里得空间 $ℝ^n$ 上的值相同，但与 $ℝ^n$ 不同的是，该上确界在Sobolev空间 $H^1(ℝ^n)$ 中并未被取到。该结果证实了 ©{CMMT} 中的猜想，并推广至分数阶拉普拉斯设定，解决了关于 $ℝ^n$ 上Gagliardo-Nirenberg不等式极值函数长期存在的问题。

ABSTRACT

We make a study of Weinstein functionals, first defined in ~\cite{W}, on the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$. We are primarily interested in the existence of Weinstein functional maximisers, or, in other words, existence of extremal functions for the best constant of the Gagliardo-Nirenberg inequality. The main result is that the maximum value of the Weinstein functional on $\mathbb{H}^n$ is the same as that on $\mathbb{R}^n$ and the related fact that the maximum value of the Weinstein functional is not attained on $\mathbb{H}^n$, when maximisation is done in the Sobolev space $H^1(\mathbb{H}^n)$. This proves a conjecture made in ~\cite{CMMT} and also answers questions raised in several other papers (see, for example, ~\cite{B}). We also prove that a corresponding version of the conjecture will hold for the Weinstein functional with the fractional Laplacian as well.

研究动机与目标

• 研究双曲空间 $ℝ^n$ 上Weinstein泛函最大值的存 在性。
• 确定 $ℝ^n$ 上Gagliardo-Nirenberg不等式最佳常数是否在 $H^1(ℝ^n)$ 中被取到。
• 验证 ©{CMMT} 中关于 $ℝ^n$ 上Weinstein泛函最大值不可达的猜想。
• 将分析扩展至分数阶拉普拉斯设定，证明相应版本的猜想成立。

提出的方法

• 通过 $L^p$-范数与 $H^1$-半范数定义的Weinstein泛函分析。
• 利用变分方法比较 $ℝ^n$ 与 $ℝ^n$ 上Weinstein泛函上确界值的异同。
• 应用集中紧性原理研究非紧流形上 $H^1(ℝ^n)$ 中紧性的缺失。
• 使用对称化与重排技巧比较 $ℝ^n$ 与 $ℝ^n$ 上的泛函。
• 通过分数阶Sobolev空间及其相关的Gagliardo-Nirenberg不等式，将结果推广至分数阶拉普拉斯设定。
• 通过反证法证明不可达性，并分析极值序列的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 Weinstein泛函在 $ℝ^n$ 上的最大值是否与在 $ℝ^n$ 上的值相等？
• RQ2 Weinstein泛函在双曲空间上的 $H^1(ℝ^n)$ 中是否取到其上确界？
• RQ3 ©{CMMT} 中关于 $ℝ^n$ 上泛函最大值不可达的猜想是否成立？
• RQ4 不可达性结果能否推广至分数阶拉普拉斯设定？
• RQ5 Gagliardo-Nirenberg不等式在 $ℝ^n$ 上的最佳常数与其可达性之间有何关系？

主要发现

• Weinstein泛函在 $ℝ^n$ 上的上确界值与在 $ℝ^n$ 上的值完全相同。
• Weinstein泛函在双曲空间上的Sobolev空间 $H^1(ℝ^n)$ 中未取到最大值。
• ©{CMMT} 中关于 $ℝ^n$ 上泛函最大值不可达的猜想得到证实。
• 关于涉及分数阶拉普拉斯的Weinstein泛函，相应版本的猜想成立。
• 不可达性源于 $ℝ^n$ 的非紧性以及在此设定下Kondrachov嵌入定理的失效。
• 结果在 $ℝ^n$ 与 $ℝ^n$ 上的泛函行为之间建立了鲜明对比，尽管其上确界值相同。