[论文解读] On certain semigroups of partial contractions of a finite chain

Abdullahi Umar, M. M. Zubairu|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了有限链 $[n]$ 上部分收缩半群的代数结构，重点关注其正则性与丰富性性质。证明了对所有 $n$，$\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$ 和 $\mathcal{OCP}_n$ 均为左丰富，但当 $n \geq 4$ 时并非右丰富；并识别出 $\mathcal{ORCP}_n$ 中强正则元素的集合构成一个正则子半群，解决了先前关于非正则性研究遗留的结构性问题。

ABSTRACT

Let $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ be a finite chain and let $\mathcal{P}_{n}$ be the semigroup of partial transformations on $[n]$. Let $\mathcal{CP}_{n}=\{α\in \mathcal{P}_{n}: (for ~all~x,y\in Dom~α)~|xα-yα|\leq|x-y|\}$ be the subsemigroup of partial contraction mappings on $[n]$. We have shown that the semigroup $\mathcal{CP}_{n}$ and some of its subsemigroups are nonregular left abundant semigroups for all $n$ but not right abundant for $n\geq 4$.

研究动机与目标

• 确定有限链 $[n]$ 上部分收缩半群 $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$ 和 $\mathcal{OCP}_n$ 的丰富性性质（左/右）。
• 刻画 $\mathcal{ORCP}_n$ 中强正则元素的集合，并探究其是否构成子半群。
• 通过将 $\mathcal{CP}_n$ 和 $\mathcal{ORCP}_n$ 的非正则性结果扩展至更广泛的丰富半群类，进一步完善先前的研究。
• 阐明凸截面、可接受截面与正则性之间在部分收缩背景下的关系。

提出的方法

• 刻画 $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$ 和 $\mathcal{OCP}_n$ 中的 Green 关系 $\mathcal{D}^*$ 与 $\mathcal{J}^*$，并证明 $\mathcal{D}^* = \mathcal{J}^*$。
• 利用基于划分的偏变换表示方法，通过核 $\text{Ker}~{}\alpha$ 与像 $\text{Im}~{}\alpha$ 分析其结构。
• 定义并分析 $\text{Ker}~{}\alpha$ 的凸截面与可接受截面，以确定正则性条件。
• 应用 Hall 的引理 1，将幂等元乘积的正则性与由幂等元生成的子半群的正则性联系起来。
• 通过在重叠支撑与像区间上进行分类讨论，证明 $\mathcal{ORCP}_n$ 中强正则元素的集合在乘法下封闭。
• 利用具有凸截面的幂等元的表示形式 $\alpha = \left(\begin{array}{ccc}A_1 & \cdots & A_p \\ x+1 & \cdots & x+p \end{array}\right)$ 推导出结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 $n$，半群 $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$ 和 $\mathcal{OCP}_n$ 是否都是左丰富的？
• RQ2 这些半群在哪些 $n$ 下是右丰富的？为何当 $n \geq 4$ 时它们不再满足右丰富性？
• RQ3 $\mathcal{ORCP}_n$ 中强正则元素的集合是否构成子半群？
• RQ4 凸截面在刻画部分收缩的强正则性中起什么作用？
• RQ5 在这些半群中，Green 关系 $\mathcal{D}^*$ 与 $\mathcal{J}^*$ 之间有何关系？

主要发现

• 半群 $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$ 和 $\mathcal{OCP}_n$ 对所有 $n$ 均为左丰富，但当 $n \geq 4$ 时并非右丰富。
• $\mathcal{ORCP}_n$ 中强正则元素的集合（定义为具有凸截面的元素）构成一个正则子半群。
• 通过在重叠像区间上进行分类讨论，证明了 $SReg(\mathcal{ORCP}_n)$ 中两个幂等元的乘积是强正则的。
• 当 $n \leq 3$ 时，半群 $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$ 和 $\mathcal{OCP}_n$ 是右丰富的，但当 $n \geq 4$ 时该性质不成立。
• $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$ 和 $\mathcal{OCP}_n$ 中均有 $\mathcal{D}^* = \mathcal{J}^*$，确认了其 Green 关系中的一种结构等价性。
• $SReg(\mathcal{ORCP}_n)$ 中的幂等元必须具有形式 $\left(\begin{array}{ccccc}A_1 & a+2 & \cdots & a+p-1 & A_p \\ a+1 & a+2 & \cdots & a+p-1 & a+p \end{array}\right)$，其中 $\max A_1 = a$ 且 $\min A_p = a+p$。