[论文解读] On certain sums of number theory

Olivier Bordellès|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2020

Analytic Number Theory Research被引用 1

一句话总结

本文改进了形如 $\sum_{n \leq x} f(\lfloor x/n \rfloor)$ 的求和的误差项估计，其中 $f$ 为如 von Mangoldt 函数 $\Lambda$、除数函数 $\tau_r$ 及其相关乘法函数等算术函数。通过使用指数对与先进的指数和技巧，该文首次在 $\Lambda$、$\tau$ 与 $\tau_r$（$r \geq 3$）的情形中突破了 $1/2$-障碍，将误差项降低至 $O(x^{97/203 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4778 + \varepsilon})$，显著优于以往的界限。

ABSTRACT

We study sums of the shape $\sum_{n \leqslant x} f \left( \lfloor x/n floor ight)$ where $f$ is either the von Mangoldt function or the Dirichlet-Piltz divisor functions. We improve previous estimates when $f = \Lambda$ and $f = au$, and provide new results when $f = au_r$ with $r \geqslant 3$, breaking the $\frac{1}{2}$-barrier in each case. The functions $f=\mu^2$, $f=2^\omega$ and $f=\omega$ are also investigated.

研究动机与目标

• 改进各类算术函数 $f$ 的求和 $\sum_{n \leq x} f(\lfloor x/n \rfloor)$ 的误差项。
• 在 $f = \Lambda$、$\tau_r$、$\mu^2$、$2^\omega$ 与 $\omega$ 的情形中，突破误差项指数中的 $1/2$-障碍。
• 利用现代指数和技巧与指数对理论，扩展并改进已有结果。
• 在 Ramanujan 假设及相关条件下，为这些求和提供明确且更优的误差界。

提出的方法

• 使用 Dirichlet 双曲法与 Vaaler 的三角逼近，将求和表示为涉及锯齿函数 $\psi(x)$ 的指数和形式。
• 应用指数对理论来控制指数和 $\sum_{D < d \leq 2D} f(d) e(hx/d)$，关键界限由指数对 $(k, \ell)$ 导出。
• 采用 Vaughan 恒等式与 $\Lambda$-函数分解方法，处理 von Mangoldt 函数及其变体。
• 利用恒等式 $\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1$ 与 $2^\omega(n) = \sum_{d \mid\!\mid n} 1$，将 $\omega$ 与 $2^\omega$ 的求和转化为双线性型。
• 应用 Srinivasan 的优化引理，通过选择最优参数（如 $N$ 与 $D$）来平衡最终界限中的竞争性误差项。
• 利用 Ramanujan 假设 $f(n) \ll n^\varepsilon$ 确保主项与误差项的收敛性与增长控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\sum_{n \leq x} \Lambda(\lfloor x/n \rfloor)$ 的误差项改进至低于 $O(x^{1/2 + \varepsilon})$？
• RQ2 当 $r \geq 3$ 时，$\sum_{n \leq x} \tau_r(\lfloor x/n \rfloor)$ 的误差项中最佳可能的指数为何？
• RQ3 对于 $\sum_{n \leq x} \mu^2(\lfloor x/n \rfloor)$ 与 $\sum_{n \leq x} 2^{\omega(\lfloor x/n \rfloor)}$，误差项的行为如何？
• RQ4 指数对方法能否用于改进 $\sum_{n \leq x} \omega(\lfloor x/n \rfloor)$ 的误差界，超越以往结果？
• RQ5 当 $f$ 为满足 $f(n) \ll n^\varepsilon$ 的乘法函数时，误差项中的最优指数为何？

主要发现

• 当 $f = \Lambda$ 时，误差项为 $O(x^{97/203 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4778 + \varepsilon})$，首次突破 $1/2$-障碍。
• 当 $f = \tau$ 时，误差项为 $O(x^{19/40 + \varepsilon}) = O(x^{0.475 + \varepsilon})$，优于此前的 $O(x^{11/23 + \varepsilon})$。
• 当 $f = \tau_3$ 时，误差项为 $O(x^{283/574 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.493 + \varepsilon})$，接近 $1/2$。
• 当 $f = \mu^2$ 时，误差项为 $O(x^{1919/4268 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4496 + \varepsilon})$，首次为此类函数提供此类界限。
• 当 $f = 2^\omega$ 时，误差项为 $O(x^{97/202 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4802 + \varepsilon})$，优于早期结果。
• 当 $f = \omega$ 时，误差项为 $O(x^{455/914 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4978 + \varepsilon})$，通过使用优化后的指数对进一步改进至 $O(x^{0.4958 + \varepsilon})$。