[论文解读] On certain sums over ordinates of zeta zeros

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Dec 16, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究Dirichlet级数 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $，其中 $ \gamma $ 为黎曼zeta函数非平凡零点的正 ordinates，建立其在 $ \sigma > -1 $ 上的解析延拓，并在临界带内导出 $ G(s) $ 的精确界。关键成果是获得了在 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 下的无条件界 $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $，该结果优于以往估计，并可应用于新的关于 $ S(T) $、$ \zeta(1/2 + it) $ 及其均方和积分估计。

ABSTRACT

Let $γ$ denote imaginary parts of complex zeros of the Riemann zeta-function $ζ(s)$. Certain sums over the $γ$'s are evaluated, by using the function $G(s) = \sum_{γ>0}γ^{-s}$ and other techniques. Some integrals involving the function $S(T) = (1/π)\argζ(1/2+iT)$ are also considered.

研究动机与目标

• 研究无条件的Dirichlet级数 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $，其定义域为非平凡zeta函数零点的 ordinates，不依赖于黎曼假设。
• 在不假设黎曼猜想的前提下，建立 $ G(s) $ 到半平面 $ \sigma > -1 $ 的解析延拓，扩展了以往需依赖RH的研究结果。
• 在临界带 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 内导出 $ G(s) $ 的精确无条件界，改进了先前的估计。
• 将 $ G(s) $ 的界应用于获得关于 $ S(T) $、$ \zeta(1/2 + it) $ 的新均方和积分估计。

提出的方法

• 在 $ \Re(s) > 1 $ 上定义 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $，并利用zeta函数零点计数函数 $ N(T) $ 的显式公式，将 $ G(s) $ 表示为Stieltjes积分形式。
• 应用分部积分法与涉及 $ \vartheta(T) $、$ S(T) $ 和 $ f(T) $ 的渐近展开，推导出 $ G(s) $ 在 $ \sigma > 0 $ 下的积分表示。
• 利用 $ \int_0^T S(t) dt \ll \log T $ 和均方估计 $ \int_1^T S(t)^2 dt \ll \log^2 T $ 控制积分表示中的误差项。
• 应用部分求和法与柯西-施瓦茨不等式估计级数 $ \sum_{\gamma > X} \gamma^{-s} $ 的尾部，从而导出在 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 下的精确界 $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $。
• 利用所得的 $ G(s) $ 界，推导出 $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt $ 的新无条件均方估计，并将其与 $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ 对 $ dS(t) $ 的积分关联起来。
• 将 $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ 对 $ dS(t) $、$ S(t) $ 和 $ S^2(t) $ 的积分与zeta函数零点的和关联，得到形式为 $ \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ 的新无条件界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界带 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 内，$ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ 的最佳无条件界是什么？
• RQ2 能否在不假设黎曼猜想的前提下，将 $ G(s) $ 的解析延拓无条件地扩展至 $ \sigma > -1 $？
• RQ3 对于 $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt $，其最佳无条件均方估计为何？
• RQ4 涉及 $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ 和 $ S(t) $ 的积分如何与zeta函数零点的和关联？其最佳无条件界为何？
• RQ5 Bombieri-Hejhal引理能否用于改进涉及 $ S(t) $ 和 $ \zeta(1/2 + it) $ 的积分的界？

主要发现

• 函数 $ G(s) $ 在无条件前提下可解析延拓至半平面 $ \sigma > -1 $，并具有涉及 $ S(x) $ 和 $ f(x) $ 的显式积分表示。
• 在 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 下建立了无条件界 $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $，优于以往估计。
• 无条件导出了均方估计 $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt \ll T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $。
• 无条件证明了和式 $ \sum_{0 < \gamma \leq T} |\zeta(1/2 + i\gamma)|^2 \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $，较之前界有显著改进。
• 无条件证明了积分 $ \int_1^T |\zeta(1/2 + it)|^2 dS(t) \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $，并对 $ S(t) $ 和 $ S^2(t) $ 的积分得到类似界。
• 本文表明，Bombieri-Hejhal引理仅能给出 $ \int |\zeta(1/2 + it)|^2 dS(t) $ 的 $ O(T \log^2 T) $ 无条件界，但通过基于 $ G(s) $ 的方法可获得更强的界。