[论文解读] On character varieties, sets of discrete characters, and non-zero degree maps

Michel Boileau, Steven Boyer|ArXiv.org|Jan 14, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文利用 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-表示的特征簇研究了 3-流形之间的非零度映射。研究结果表明，小结流形基本群之间的虚拟满同态会对其特征簇的代数结构施加限制，从而对这类同态给出先验界。关键结果是存在无限多组小的、闭的、可定向 3-流形，它们除了通过同胚外，不承认任何到双曲或几何结构化流形的非零度映射。

ABSTRACT

In this paper we use character variety methods to study homomorphisms between the fundamental groups of 3-manifolds, in particular those induced by non-zero degree maps. A {\it knot manifold} is a compact, connected, irreducible, orientable 3-manifold whose boundary is an incompressible torus. A {\it virtual epimorphism} is a homomorphism whose image is of finite index in its range. We show that the existence of such homomorphisms places constraints on the algebraic decomposition of a knot manifold's $PSL_2(\mathbb C)$-character variety and consequently determine a priori bounds on the number of virtual epimorphisms between the fundamental groups of small knot manifolds with a fixed domain. In the second part of the paper we fix a small knot manifold $M$ and investigate various sets of characters of representations with discrete image in $PSL_2(\mathbb C)$. The topology of these sets is intimately related to the algebraic structure of the $PSL_2(\mathbb C)$-character variety of $M$ as well as dominations of manifolds by $M$ and its Dehn fillings. In particular, we apply our results to study families of non-zero degree maps $f_n: M(α_n) o V_n$ where $M(α_n)$ is the $α_n$-Dehn filling of $M$ and $V_n$ is either a hyperbolic manifold or $\widetilde{SL_2}$ manifold. We show that quite often, up to taking a subsequence, there is a knot manifold $V$, slopes $β_j$ on $\partial V$ such that $V_j \cong V(β_j)$, and a non-zero degree map $M o V$ which induces $f_j$ up to homotopy. The work of the first part of the paper is then applied to construct infinite families of small, closed, connected, orientable 3-manifolds which do not admit non-zero degree maps, other than homeomorphisms, to any hyperbolic manifold, or even manifolds with infinite fundamental groups.

研究动机与目标

• 通过特征簇技术理解非零度映射对小结流形基本群施加的约束。
• 分析小结流形 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-特征簇中离散、无扭表示的集合的拓扑结构。
• 确定何时一个小结流形通过非零度映射支配其他 3-流形，特别是双曲或 $\widetilde{SL_2}$ 流形。
• 在支配关系下建立小结流形的极小性结果，表明某些流形在 $\mathcal{H}$ 或 $\mathcal{M}$ 中不虚拟支配任何非同胚的流形。
• 证明存在无限多组闭的、可定向的 3-流形，它们除了通过同胚外，不承认任何到双曲或几何结构化流形的非零度映射。

提出的方法

• 使用 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-特征簇分析小结流形基本群的表示。
• 应用虚拟满同态条件，限制特征簇的代数分解，特别是针对离散、无扭表示。
• 在像群的中心化子上使用弯曲函数 $\beta_{(\rho_1,A)}$ 检测其常数性，这暗示了特征行为的刚性。
• 分析 $\rho(\Gamma_0)$ 为阿贝尔但非 $\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2$ 的情形，利用迹恒等式确定弯曲函数为常数的条件。
• 利用 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 中 $\mathcal{D}$（对角型）、$\mathcal{P}$（抛物型）、$\mathcal{T}_+$（双曲型）和 $\mathcal{N}$（正规化子）子群的结构对表示进行分类。
• 利用小结流形的性质：仅存在有限多个表示的特征，使得其边界表示的像为平凡或抛物型，从而实现基于斜率的离散特征分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 小结流形基本群之间的虚拟满同态对它们的 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-特征簇的代数结构施加了何种约束？
• RQ2 弯曲函数 $\beta_{(\rho_1,A)}$ 在何种条件下为常数？这与表示 $\rho$ 的可约性或共轭性有何关联？
• RQ3 哪些小的、闭的、可定向 3-流形不承认任何到双曲或几何结构化流形的非零度映射，除了通过同胚？
• RQ4 离散、无扭特征集合的拓扑结构如何与德恩填充与目标流形之间非零度映射的存在性相关？
• RQ5 能否构造出无限多组在双曲或几何结构化流形类中关于支配关系极小的 3-流形？

主要发现

• 当 $M$ 为小结流形时，仅存在有限多个表示 $\rho: \pi_1(M) \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 的特征，使得 $\rho(\pi_1(\partial M))$ 为平凡或抛物型。
• 对于一个离散、无扭的特征 $\chi_\rho$，存在唯一的斜率 $\alpha$，使得 $\rho(\alpha) = \pm I$，该斜率定义了 $\rho$ 的斜率。
• 弯曲函数 $\beta_{(\rho_1,A)}$ 为常数，当且仅当 $\rho(\Gamma_1) \subset \mathcal{D}$ 且 $A = \pm \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$，或 $\rho(\Gamma_1) \subset \mathcal{T}_+$ 且 $A \in \mathcal{T}_+$，这意味着表示可约或共轭进入 $\mathcal{N}$。
• 若 $\rho(\Gamma_0)$ 为阿贝尔但非 $\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2$，则弯曲函数为常数意味着对 $\rho_1$ 和 $A$ 施加了强烈的代数约束。
• 若存在非零度映射 $f_n: M(\alpha_n) \to V_n$ 到双曲或 $\widetilde{SL_2}$ 流形，则对特征簇及边界表示的像施加了结构限制。
• 存在无限多组小的、闭的、连通的、可定向 3-流形，它们不承认任何到双曲流形或 $\mathcal{M}$ 中任意流形的非零度映射，除了通过同胚。