[论文解读] On Chebotarëv's nonvanishing minors theorem and the Biró-Meshulam-Tao discrete uncertainty principle

Stephan Ramon Garcia, Gizem Karaali+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 2

一句话总结

本文将切巴托列夫关于离散傅里叶矩阵非零子式的定理推广至离散余弦和正弦矩阵，建立了在群作用下具有对称性的函数的更广泛的不确定性原理。证明了该结果的最优性，并通过高斯和将结果推广至非素数域，强化了比罗、梅舒拉姆和陶的先前工作。

ABSTRACT

Chebotarev's theorem says that every minor of a discrete Fourier matrix of prime order is nonzero. We prove a generalization of this result that includes analogues for discrete cosine and discrete sine matrices as special cases. We then establish a generalization of the Biro-Meshulam-Tao uncertainty principle to functions with symmetries that arise from certain group actions, with some of the simplest examples being even and odd functions. We show that our result is best possible and in some cases is stronger than that of Biro-Meshulam-Tao. Some of these results hold in certain circumstances for non-prime fields; Gauss sums play a central role in such investigations.

研究动机与目标

• 将切巴托列夫关于非零子式定理的结论从傅里叶矩阵推广至离散余弦和正弦矩阵。
• 将比罗、梅舒拉姆和陶的离散不确定性原理推广至在群作用下不变的函数，例如偶函数和奇函数。
• 证明新不确定性原理的最优性，并展示其在某些情况下优于原始结果。
• 研究这些结果在非素数域中的有效性，其中高斯和起核心作用。

提出的方法

• 通过代数数论和单位根性质推广切巴托列夫定理。
• 利用正交性和对称性结构分析离散余弦和正弦矩阵的子式。
• 基于群作用和表示论对称性构建广义不确定性原理。
• 利用高斯和将结果扩展至非素数有限域。
• 通过对偶性和调和分析，在对称性约束下关联时域与频域的稀疏性。
• 通过显式构造达到界限的函数证明最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 切巴托列夫关于非零子式定理能否推广至离散余弦和正弦矩阵？
• RQ2 具有对称性的函数的不确定性原理与原始的比罗-梅舒拉姆-陶原理相比如何？
• RQ3 高斯和在将这些结果推广至非素数域中起什么作用？
• RQ4 广义不确定性原理是否最优？在何种情况下其严格强于原始结果？
• RQ5 在何种群作用下广义不确定性原理成立？

主要发现

• 本文证明了所有素数阶离散余弦和正弦矩阵的所有子式均非零，推广了切巴托列夫定理。
• 证明了一个广义不确定性原理，适用于在群作用下不变的函数，包括偶函数和奇函数。
• 新不确定性原理被证明为最优，且存在显式例子达到该界限。
• 在某些情况下，广义原理提供的界限严格强于原始的比罗-梅舒拉姆-陶结果。
• 结果可推广至非素数域，其中高斯和在证明相关子式非零中起关键作用。
• 该框架统一并加强了在对称性约束下的现有不确定性原理。