[论文解读] On Cheeger constants of hyperbolic surfaces

Thomas Budzinski, Nicolas Curien+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

该论文通过使用趋于零强度的随机泊松-沃罗诺伊镶嵌，建立了大亏格闭合双曲面上的切赫常数的上界 $\frac{2}{\pi} \approx 0.63$。结果表明，此类曲面的最大切赫常数与双曲平面的切赫常数（$h=1$）之间存在严格差距，类似于图论中已知的差距，且意味着切赫不等式无法为高亏格曲面提供最优的谱界。

ABSTRACT

It is a well-known result due to Bollobas that the maximal Cheeger constant of large $d$-regular graphs cannot be close to the Cheeger constant of the $d$-regular tree. We prove analogously that the Cheeger constant of closed hyperbolic surfaces of large genus is bounded from above by $2/π\approx 0.63...$ which is strictly less than the Cheeger constant of the hyperbolic plane. The proof uses a random construction based on a Poisson--Voronoi tessellation of the surface with a vanishing intensity.

研究动机与目标

• 解决一个猜想，即大亏格闭合双曲曲面的最大切赫常数严格小于双曲平面的切赫常数。
• 在大亏格极限下，建立切赫常数的定量上界，类似于 $d$-正则图论中的已知结果。
• 证明切赫不等式无法为高亏格双曲曲面提供最优谱隙。
• 开发一种基于泊松-沃罗诺伊镶嵌的概率方法，以分析双曲曲面的等周性质。

提出的方法

• 在趋于零强度的双曲曲面上构造一个随机泊松-沃罗诺伊镶嵌，以模拟双曲平面的局部几何结构。
• 通过无点沃罗诺伊镶嵌的极限构造，分析双曲平面上边界长度密度。
• 对沃罗诺伊胞腔进行独立同分布的公平硬币翻转随机着色，以生成面积约为一半的随机子集 $A_\lambda$。
• 利用几何概率和双曲环形区域上的积分估计，估算期望边界长度 $\mathbb{E}[|\partial A_\lambda|]$。
• 使用集中与尾部概率不等式，证明以正概率，$|A_\lambda|$ 接近曲面面积的一半，且 $|\partial A_\lambda|$ 较小。
• 应用马尔可夫不等式，推导出切赫常数 $h(\mathcal{S})$ 的上界，形式为 $\frac{2}{\pi}(1+\delta)^2/(1-\delta)$，当 $\delta \to 0$ 时趋于 $\frac{2}{\pi}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 大亏格闭合双曲曲面的最大切赫常数是否严格小于双曲平面的切赫常数？
• RQ2 大亏格双曲曲面的切赫常数是否可被一个严格小于 1 的常数上界控制，如同图论中的情况？
• RQ3 由于切赫常数存在这一差距，大亏格双曲曲面的谱隙是否无法通过切赫不等式获得最优界？
• RQ4 是否可利用趋于零强度的随机泊松-沃罗诺伊镶嵌，推导出双曲曲面的等周界？

主要发现

• 任何亏格 $g \geq 2$ 的闭合双曲曲面的切赫常数在 $g \to \infty$ 的极限下，其上界为 $\frac{2}{\pi} \approx 0.63$，即 $\limsup_{g \to \infty} \sup_{\mathcal{S} \in \mathcal{M}_g} h(\mathcal{S}) \leq \frac{2}{\pi}$。
• 该上界严格小于双曲平面的切赫常数（其值为 1），从而在万有覆叠与大有限覆叠之间建立了定量差距。
• 该结果意味着，由于切赫常数远离 1，切赫不等式无法用于证明大亏格双曲曲面的最优谱隙。
• 证明依赖于一种基于趋于零强度泊松-沃罗诺伊镶嵌的随机构造，其中证明了随机着色胞腔的期望边界长度至多为 $\frac{2}{\pi}(1+\delta)|\mathcal{S}|$（$\delta > 0$ 极小）。
• 以正概率，随机子集 $A_\lambda$ 的面积在 $1 \pm \delta$ 范围内接近曲面面积的一半，且边界长度至多为 $\frac{1}{\pi}(1+\delta)^2|\mathcal{S}|$，从而导出最终的上界。
• 该方法通过聚焦于基于内在双曲测度的自洽几何估计，并利用大胞腔上的集中性，避免了不同半径之间复杂相互作用。