[论文解读] On circumcenter mappings induced by nonexpansive operators

Heinz H. Bauschke, Hui Ouyang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文引入并分析了由非扩张算子（特别是反射算子和投影算子）诱导的外心映射，旨在研究其正则性——即外心是否对所有输入均有定义。主要贡献在于建立了正则性的充分必要条件，包括对三元算子映射的刻画以及外心映射的半闭性原理，并将其应用于加速可行性求解器（如外心化Douglas-Rachford方法）。

ABSTRACT

We introduce the circumcenter mapping induced by a set of (usually nonexpansive) operators. One prominent example of a circumcenter mapping is the celebrated Douglas--Rachford splitting operator. Our study is motivated by the Circumcentered--Douglas--Rachford method recently introduced by Behling, Bello Cruz, and Santos in order to accelerate the Douglas--Rachford method for solving certain classes of feasibility problems. We systematically explore the properness of the circumcenter mapping induced by reflectors or projectors. Numerous examples are presented. We also present a version of Browder's demiclosedness principle for circumcenter mappings.

研究动机与目标

• 形式化并分析由一组非扩张算子诱导的外心映射，特别是反射算子和投影算子。
• 确定外心映射正则性的充分必要条件，即在希尔伯特空间中对所有输入均有定义。
• 将外心映射与Browder的半闭性原理相联系，并将其适用性扩展至迭代算法。
• 为通过外心迭代加速Douglas-Rachford方法和交替投影法提供理论基础。

提出的方法

• 将外心映射 $ CC_{\mathcal{S}} $ 定义为外心算子与一组算子 $ \mathcal{S} = \{T_1, \dots, T_m\} $ 的复合，将每个 $ x \in \mathcal{H} $ 映射到 $ \mathcal{S}(x) $ 的外心（若存在）。
• 利用仿射包和张量空间的几何与代数性质，分析 $ \mathcal{S}(x) $ 的外心存在的条件。
• 通过非扩张算子及其不动点集的结构，建立外心映射的半闭性原理。
• 分析涉及反射算子 $ R_A, R_B $ 和投影算子 $ P_A, P_B $ 的具体情形，特别是在含标量倍数的一维情形下。
• 利用与算子关联的特征值类参数 $ \alpha, \beta $ 推导正则性的必要与充分条件。
• 提供反例与紧致性分析，以说明所导出的正则性条件的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，外心映射 $ CC_{\mathcal{S}} $ 是正则的，即对所有 $ x \in \mathcal{H} $ 均有定义？
• RQ2 在外心算子的背景下，外心映射与Browder半闭性原理之间存在何种关系？
• RQ3 对于三元算子集合 $ \mathcal{S} = \{\text{Id}, R_A, R_B\} $，确保 $ CC_{\mathcal{S}} $ 正则性的必要与充分条件是什么？
• RQ4 线性算子的谱参数 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 如何影响 $ CC_{\mathcal{S}} $ 的正则性？
• RQ5 外心映射能否用于加速Douglas-Rachford方法或交替投影法在求解可行性问题中的应用？

主要发现

• 当 $ \mathcal{S}_1 = \{\text{Id}, R_A, R_B\} $ 且 $ A, B $ 为具有参数 $ \alpha, \beta $ 的标量算子时，外心映射 $ CC_{\mathcal{S}} $ 不正则当且仅当 $ \alpha \neq 0 $，$ \beta \neq 0 $，且 $ \alpha \neq \beta $。
• 当 $ \mathcal{S}_2 = \{\text{Id}, R_A, R_B R_A\} $ 时，映射不正则当且仅当 $ \alpha \neq 0 $，$ \alpha \neq 1 $，$ \beta \neq 0 $，且 $ \alpha \neq -\beta $。
• 通过C–DRM算子由两个线性子空间诱导的外心映射是所提框架的特例，并在所导条件下方为正则。
• 为外心映射建立了一个Browder半闭性原理的版本，将序列的弱收敛性与不动点行为联系起来。
• 尽管在特定算子配置下定义良好，外心映射一般并非线性或连续。
• 数值探索表明，$ (CC_{\mathcal{S}}^k x)_{k \in \mathbb{N}} $ 能够有效求解最佳逼近问题，在某些情形下优于标准方法。