[论文解读] On classical simulation algorithms for noisy Boson Sampling

Changhun Oh, Liang Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2023

Statistical Methods and Inference被引用 7

一句话总结

本文提出了一种经典算法，通过利用首次量化表示法，使用稀疏低次多项式近似输出概率，对噪声玻色采样实验的输出分布进行近似采样。该算法在噪声率恒定的情况下具有准多项式时间复杂度，在噪声随 $1 - x_1^\gamma$ 变化且 $\gamma = \Omega(\log N)$ 时具有多项式时间复杂度，为特定噪声模型下的经典模拟提供了理论框架。

ABSTRACT

We present a classical algorithm that approximately samples from the output distribution of certain noisy Boson Sampling experiments. This algorithm is inspired by a recent result of Aharonov, Gao, Landau, Liu and Vazirani and makes use of an observation originally due to Kalai and Kindler that the output probability of Boson Sampling experiments with a Gaussian noise model can be approximated by sparse low-degree polynomials. This observation alone does not suffice for classical sampling, because its marginal probabilities might not be approximated by sparse low-degree polynomials, and furthermore, the approximated probabilities might be negative. We solve this problem by employing the first quantization representation to give an algorithm for computing the marginal probabilities of these experiments. We prove that when the overall noise rate is constant, the algorithm runs in time quasi-polynomial in the number of input photons $N$ and accuracy. When the overall noise rate scales as $1-x_1^γ$ for constant $x_1$ and $γ=Ω(\log N)$, the running time becomes polynomial. Furthermore, we study noisy Boson Sampling with practically relevant noise models such as partial distinguishability and photon loss. We show that the same technique does not immediately apply in these settings, leaving open the possibility of a scalable demonstration of noisy quantum advantage for these noise models in certain parameter regimes.

研究动机与目标

• 开发一种适用于现实噪声模型的噪声玻色采样经典模拟算法。
• 解决在噪声玻色采样中，边缘概率可能无法被稀疏低次多项式良好近似且可能出现负值的问题。
• 证明该算法在不同噪声缩放模式下的时间复杂度界限。
• 通过分析该算法是否可扩展至实际噪声模型，评估在噪声存在下实现可扩展量子优势的可行性。
• 探索在高斯噪声之外，经典可模拟性在噪声量子优势实验中的极限。

提出的方法

• 利用 Kalai 和 Kindler 观察到的结论：在高斯噪声下，输出概率可用稀疏低次多项式近似。
• 使用首次量化表示法精确计算边缘概率，避免负概率问题。
• 对输出概率分布应用多项式近似，截断噪声参数 $\eta$ 的高次项。
• 通过设定多项式近似的次数上限 $l$ 来控制计算复杂度。
• 通过分析多项式近似中的项数以及计算永久值的代价，推导出时间复杂度界限。
• 分析该方法在光子损耗和部分不可区分性情况下的失效原因，包括所需多项式次数更高以及量子态非正交性的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声率恒定时，经典算法能否高效模拟噪声玻色采样？
• RQ2 在涉及边缘概率时，输出概率的多项式近似技术是否依然有效？
• RQ3 在不同噪声缩放模式下，所提算法的计算复杂度如何？
• RQ4 该方法是否可扩展至实际噪声模型，如光子损耗和部分不可区分性？
• RQ5 是否存在算法时间复杂度变为多项式的时间，从而实现可扩展的经典模拟的区间？

主要发现

• 当整体噪声率恒定时，该算法的运行时间为准多项式时间 $2^{\mathrm{poly}(\log N)}$。
• 当噪声率按 $1 - x_1^\gamma$ 缩放且 $\gamma = \Omega(\log N)$ 时，运行时间在 $N$ 上为多项式时间。
• 该方法无法直接扩展至光子损耗和部分不可区分性，因为需要更高次的多项式近似。
• 对于光子损耗，所需多项式次数为 $\Omega(\eta N)$，远高于电路噪声所需的 $O(\log N)$ 次，因此在该情形下方法不可行。
• 在截断高次项时，光子损耗下的近似误差被低估，被舍弃的概率质量显著，尤其当 $\eta N$ 较大时。
• 该算法可能适用于光子损耗的区间（$\eta N = O(\log N)$）已可通过热态近似实现经典模拟，因此该方法在该情况下冗余。