[论文解读] On Closed and Exact Grad-grad- and div-Div-Complexes, Corresponding Compact Embeddings for Tensor Rotations, and a Related Decomposition Result for Biharmonic Problems in 3D

Dirk Pauly, Walter Zulehner|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文通过非标准张量Sobolev空间的Helmholtz型分解，将三维双调和问题分解为三个连续的二阶边值问题。关键贡献在于在有界强Lipschitz域上表征了$\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$与$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$复形，实现了紧嵌入，并为具有任意拓扑结构的三维双调和问题提供了新分解方法。

ABSTRACT

It is shown that the first biharmonic boundary value problem on a topologically trivial domain in 3D is equivalent to three (consecutively to solve) second-order problems. This decomposition result is based on a Helmholtz-like decomposition of an involved non-standard Sobolev space of tensor fields and a proper characterization of the operator div-Div acting on this space. Similar results for biharmonic problems in 2D and their impact on the construction and analysis of finite element methods have been recently published by the second author. The discussion of the kernel of div-Div leads to (de Rham-like) closed and exact Hilbert complexes, the div-Div-complex and its adjoint the Grad-grad-complex, involving spaces of trace-free and symmetric tensor fields. For these tensor fields we show Helmholtz type decompositions and, most importantly, new compact embedding results. Almost all our results hold and are formulated for general bounded strong Lipschitz domains of arbitrary topology. There is no reasonable doubt that our results extend to strong Lipschitz domains in arbitrary dimensions.

研究动机与目标

• 将二维双调和问题的分解结果推广至三维，特别是适用于任意拓扑结构的区域。
• 表征涉及对称、迹为零张量场的$\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$与$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$复形。
• 为对称张量场的张量旋转变换在Sobolev空间中建立新的紧嵌入定理。
• 为与双调和问题相关的对称张量场空间提供一种Helmholtz型分解。
• 通过辅助场$p$、$v$与$u$，实现双调和方程的构造性、块三角形求解策略。

提出的方法

• 在$\mathbb{R}^3$中的有界强Lipschitz域上引入$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$-复形及其对偶$\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$-复形，涉及对称、迹为零张量场。
• 对非标准的对称张量场Sobolev空间应用Helmholtz型分解，将空间分离为恰当与共恰当分量。
• 对对称张量场应用$\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$算子，并通过$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$-复形表征其核。
• 通过在相关子空间上证明强制性与inf-sup条件，建立张量旋转变换算子的紧嵌入。
• 通过引入辅助场$p$、$E$、$v$与$u$，推导出双调和问题的块三角形鞍点系统，并通过变分分析证明其适定性。
• 依赖于函数分析工具，包括正交分解、迹为零投影，以及用“mathring”算子表示的自然边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维双调和问题能否如二维情形一样，分解为三个连续的二阶问题？
• RQ2 在具有任意拓扑结构的一般三维区域上，$\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$与$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$复形的结构是什么？
• RQ3 在对称张量场的背景下，如何建立张量旋转变换算子的紧嵌入？
• RQ4 $\boldsymbol{\operatorname{sym}\!\operatorname{Rot}}$算子在双调和问题分解中起什么作用？
• RQ5 辅助场$p$、$v$与$u$如何通过一个PDE的三角系统与原始双调和解$u$相关联？

主要发现

• 在拓扑平凡的三维双调和边值问题中，其等价于求解三个连续的二阶问题：$p$的Poisson问题、$v$的线性弹性Neumann问题，以及$u$的Poisson问题。
• $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$算子的核通过一个包含对称、迹为零张量场的闭合且恰当的Hilbert复形被表征。
• 为对称张量场空间建立了新的Helmholtz型分解，使得与$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$和$\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$算子相关的分量得以分离。
• 证明了张量旋转变换算子的紧嵌入，这对有限元方法中的收敛性分析至关重要。
• 该系统具有块三角形鞍点结构，其适定性由$\boldsymbol{\operatorname{sym}\!\operatorname{Rot}}$双线性形式的强制性与inf-sup条件保证。
• 结果可推广至$\mathbb{R}^3$中的任意有界强Lipschitz域，并有望推广至$\mathbb{R}^N$。