[论文解读] On closed rational functions in several variables

А. П. Петравчук, Oleksandr Iena|ArXiv.org|Jan 21, 2007

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文建立了在特征为零的代数闭域上，多个变量的有理函数为闭函数的充分条件，即其生成的子域在有理函数域中代数封闭。证明了当 f 与 g 互素、代数独立，且至少一个不可约时，有理函数 φ = f/g 是闭的；等价地，当线性系 αf + βg 中仅包含有限多个可约代数曲面时，φ = f/g 是闭的。

ABSTRACT

Let k be an algebraically closed field of characteristic zero. An element F from k(x_1,...,x_n) is called a closed rational function if the subfield k(F) is algebraically closed in the field k(x_1,...,x_n). We prove that a rational function F=f/g is closed if f and g are algebraically independent and at least one of them is irreducible. We also show that the rational function F=f/g is closed if and only if the pencil af+bg contains only finitely many reducible hypersurfaces. Some sufficient conditions for a polynomial to be irreducible are given.

研究动机与目标

• 刻画有理函数 φ ∈ K(x₁,…,xₙ) 为闭函数，即 K(φ) 在 K(x₁,…,xₙ) 中代数封闭。
• 提供有理函数 φ = f/g 为闭函数的充分条件，特别是当 f 与 g 互素、代数独立，且至少一个不可约时。
• 建立 φ = f/g 为闭函数与线性系 αf + βg 中可约代数曲面有限性的等价关系。
• 推导某些多项式乘积不可约性的充分条件，特别是当 f 为不可约、独立多项式的幂的乘积时，f + λ 的不可约性。

提出的方法

• 使用雅可比判别法与微分形式，通过 dφ ∧ dψ 的消失来刻画有理函数之间的代数依赖性。
• 应用戈登关于有理函数域的定理，证明若 tr.deg(K(φ,ψ)) = 1，则存在有理函数 h 使得 K(φ,ψ) = K(h)。
• 运用奥拉尼亚关于 Darboux 多项式的结论，将 φ = f/g 的闭性与线性系 αf + βg 中可约成员的有限性联系起来。
• 分析具有唯一因式分解性质的多项式环中的因式分解类型，证明若 f = F(h) 且 deg F ≥ 2，则 f 必须分解为 h 的一次形式的乘积，从而在不可约性假设下导致矛盾。
• 利用射影参数 (α:β) ∈ ℙ¹ 的结构，分析有理函数何时可表示为复合形式，特别是通过不同的线性形式。
• 应用多项式环中的唯一因式分解性质，证明若若干不可约多项式的幂的乘积是另一多项式的幂，则各指数必须被外层多项式的次数整除，当 gcd(m₁,…,mₖ) = 1 时将导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有理函数 φ = f/g ∈ K(x₁,…,xₙ) 是闭的，即 K(φ) 在 K(x₁,…,xₙ) 中代数封闭？
• RQ2 线性系 αf + βg 何时仅包含有限多个可约代数曲面，这与 φ = f/g 的闭性有何关联？
• RQ3 当且仅当除有限多个常数外，若干代数独立不可约多项式的幂的乘积加常数仍为不可约多项式？
• RQ4 有理函数 φ = f/g 是否可表示为非线性复合 F(ψ)，其中 deg F ≥ 2？在何种条件下可阻止这种表示？

主要发现

• 当 f 与 g 互素、代数独立，且 f 或 g 中至少一个不可约时，有理函数 φ = f/g 是闭的。
• 有理函数 φ = f/g 是闭的，当且仅当线性系 αf + βg 中仅包含有限多个可约代数曲面。
• 若 pᵢ 为代数独立的不可约多项式，且 gcd(m₁,…,mₖ) = 1，则多项式 p₁^{m₁}⋯pₖ^{mₖ} + λ 对除有限多个 λ ∈ K 外均为不可约。
• 若有理函数 φ = f/g 不是闭的，则可表示为 F(ψ)，其中 F ∈ K(t) 且 deg F ≥ 2，这将导致 f 与 g 可分解为同一有理函数 ψ 的线性形式的乘积。
• 若存在非线性生成函数 ψ 使得 φ 可表示为 F(ψ)，则线性系 αf + βg 中必包含无限多个可约代数曲面。
• 若 f 与 g 均不可约且代数独立，则 φ = f/g 是闭的，且不存在非平凡的复合表示 F(ψ)，其中 deg F ≥ 2。