[论文解读] On Closest Pair in Euclidean Metric: Monochromatic is as Hard as Bichromatic

C. S. Karthik, Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 12

一句话总结

该论文在强指数时间假设（SETH）下，证明了在维度 d = (log n)^Ωε(1) 时，欧氏空间中的单色最近邻对问题的计算复杂度与双色版本相当。它证明了对于任意 ε > 0，不存在算法能在 o(n^{2−ε}) 时间内精确求解该问题，同时在高维空间中也排除了近乎多项式因子的近似解在亚二次时间内的可行性，其方法基于纠错码构造的稠密二分图，实现低接触维数。

ABSTRACT

Given a set of n points in R^d, the (monochromatic) Closest Pair problem asks to find a pair of distinct points in the set that are closest in the l_p-metric. Closest Pair is a fundamental problem in Computational Geometry and understanding its fine-grained complexity in the Euclidean metric when d=omega(log n) was raised as an open question in recent works (Abboud-Rubinstein-Williams [FOCS'17], Williams [SODA'18], David-Karthik-Laekhanukit [SoCG'18]). In this paper, we show that for every p in R_{>= 1} cup {0}, under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), for every epsilon>0, the following holds: - No algorithm running in time O(n^{2-epsilon}) can solve the Closest Pair problem in d=(log n)^{Omega_{epsilon}(1)} dimensions in the l_p-metric. - There exists delta = delta(epsilon)>0 and c = c(epsilon)>= 1 such that no algorithm running in time O(n^{1.5-epsilon}) can approximate Closest Pair problem to a factor of (1+delta) in d >= c log n dimensions in the l_p-metric. In particular, our first result is shown by establishing the computational equivalence of the bichromatic Closest Pair problem and the (monochromatic) Closest Pair problem (up to n^{epsilon} factor in the running time) for d=(log n)^{Omega_epsilon(1)} dimensions. Additionally, under SETH, we rule out nearly-polynomial factor approximation algorithms running in subquadratic time for the (monochromatic) Maximum Inner Product problem where we are given a set of n points in n^{o(1)}-dimensional Euclidean space and are required to find a pair of distinct points in the set that maximize the inner product. At the heart of all our proofs is the construction of a dense bipartite graph with low contact dimension, i.e., we construct a balanced bipartite graph on n vertices with n^{2-epsilon} edges whose vertices can be realized as points in a (log n)^{Omega_epsilon(1)}-dimensional Euclidean space such that every pair of vertices which have an edge in the graph are at distance exactly 1 and every other pair of vertices are at distance greater than 1. This graph construction is inspired by the construction of locally dense codes introduced by Dumer-Miccancio-Sudan [IEEE Trans. Inf. Theory'03].

研究动机与目标

• 在 SETH 下，解决高维欧氏空间（d = ω(log n)）中单色最近邻对问题的精细复杂度。
• 弥合对单色最近邻对问题是否在高维中比双色版本更简单的理解差距，特别是在 ℓp-范数下。
• 在 SETH 下，建立高维空间中最近邻对问题与最大内积问题的不可近似性结果。
• 开发一种基于纠错码的新型图构造技术，用于在几何问题中模拟计算困难性。

提出的方法

• 构造一个具有 n 个顶点、n^{2−ε} 条边且接触维数较低（d = (log n)^Ωε(1)）的稠密二分图，使得相邻顶点在 ℓp-范数下距离为 1，非相邻顶点距离大于 1。
• 利用局部稠密码（受 Dumer-Miccancio-Sudan 启发）在低维欧氏空间中实现该图，并实现精确的距离控制。
• 通过保持距离与近似性不变的 gadget 构造，将双色最近邻对问题归约至单色最近邻对问题。
• 使用 Reed-Solomon 码与代数几何（AG）码，构建具有特定距离与大小比的码对。
• 应用正交向量假设（OVH）与 SETH，推导出问题精确版本与近似版本的条件性下界。
• 采用基于张量积与置换的递归嵌入技术，放大计算困难性并保持近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 d = (log n)^Ωε(1) 维度下，SETH 下单色最近邻对问题是否与双色版本具有同等计算难度？
• RQ2 是否存在亚二次时间算法可在高维 ℓp-范数下求解单色最近邻对问题？
• RQ3 在高维空间中，亚二次时间内可实现的最近邻对问题的最佳近似因子是什么？
• RQ4 在高维空间中，SETH 下最大内积问题能否在亚二次时间内近似求解？
• RQ5 该困难性框架能否扩展至 k-MIP 或其他 k-向量推广问题？

主要发现

• 在 SETH 下，当 d = (log n)^Ωε(1) 时，在 ℓp-范数下，不存在算法能在 o(n^{2−ε}) 时间内求解单色最近邻对问题，对任意 ε > 0。
• 对每个 ε > 0，存在 δ = δ(ε) > 0 与 c = c(ε) ≥ 1，使得不存在 O(n^{1.5−ε}) 时间算法能在 d ≥ c log n 维空间中实现 (1+δ)-近似的最近邻对问题。
• 该论文在运行时间上至多相差 n^ε 因子，建立了单色与双色最近邻对问题之间的计算等价性，当 d = (log n)^Ωε(1) 时。
• 在 SETH 下，高维空间中最大内积问题的近乎多项式因子近似无法在 subquadratic 时间内计算，空间维度为 no(1)。
• 构造一个具有低接触维数、精确距离控制的稠密二分图，是实现所有下界的核心技术创新。
• 该框架表明，解决开放问题 1.1 与 1.2 需要构造具有更优参数的 gadget，特别是改进维度或边数的上界。