[论文解读] On cluster points of alternating projections

Heinz H. Bauschke, Dominikus Noll|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在欧几里得平面上构造了显式例子，其中在非凸闭集上使用交替投影法时，生成的序列具有非退化的紧致连通集作为其聚点集合。论文证明，当这些集合是闭凸集的可数无限并时，此类行为是可能的；但当它们是有限并时则不可能，从而解决了关于非凸可行性问题中聚点性质的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Suppose that $A$ and $B$ are closed subsets of a Euclidean space such that $A\cap B eq\varnothing$, and we aim to find a point in this intersection with the help of the sequences $(a_n)_ nn$ and $(b_n)_ nn$ generated by the \emph{method of alternating projections}. It is well known that if $A$ and $B$ are convex, then $(a_n)_ nn$ and $(b_n)_ nn$ converge to some point in $A\cap B$. The situation in the nonconvex case is much more delicate. In 1990, Combettes and Trussell presented a dichotomy result that guarantees either convergence to a point in the intersection or a nondegenerate compact continuum as the set of cluster points. In this note, we construct two sets in the Euclidean plane illustrating the continuum case. The sets $A$ and $B$ can be chosen as countably infinite unions of closed convex sets. In contrast, we also show that such behaviour is impossible for finite unions.

研究动机与目标

• 构造 R² 中闭的、非凸的集合的显式例子，使得交替投影生成的序列其聚点集合为非退化的紧致连通集。
• 证明当集合为闭凸集的可数无限并时，此类连通集行为是可能的。
• 证明当集合为非空闭凸集的有限并时，连通集情况不可能发生。
• 阐明交替投影在非凸设置下的收敛行为二分性，正如 Combettes 和 Trussell 所先前建议的那样。

提出的方法

• 使用严格递减的径向函数 ρ(α) = 1 + exp(−α) 在 R² 中定义一条螺旋曲线，以角度 α 为参数。
• 引入距离阈值 ε(α) = (ρ(α) − ρ(α + 2π))/2，以控制螺旋曲线上点之间的接近程度。
• 沿螺旋曲线构造一个点列 (x_n)，使得相邻点之间的距离恰好为 ε(α_n)，从而确保受控的收敛行为。
• 将集合 A 和 B 定义为该序列中交替点与单位圆 S 的并集，以保证闭性和非凸结构。
• 利用投影的非扩张性及紧致性论证，证明由交替投影生成的序列 (a_n) 和 (b_n) 收敛到 S 上的点。
• 应用抽屉原理和基于距离的反证法，证明非空闭凸集的有限并无法产生非退化的连通集聚点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出显式例子，使得在非凸集上使用交替投影时，生成的序列其聚点集合为非退化的紧致连通集？
• RQ2 当集合为闭凸集的可数无限并时，交替投影中的连通集情况是否可能？
• RQ3 当集合为非空闭凸集的有限并时，能否排除连通集情况？
• RQ4 集合 A 和 B 的结构满足何种条件，将决定聚点是单个点还是连通集？

主要发现

• 本文构造了 R² 中两个闭的、非凸的集合 A 和 B，每个均为闭凸集的可数无限并，使得交替投影生成的序列其聚点形成非退化的紧致连通集（即单位圆 S）。
• 在所构造的例子中，序列 (a_n) 和 (b_n) 收敛到单位圆 S，且 S 恰好是聚点的全部集合。
• 该构造表明，当集合为闭凸集的可数无限并时，非凸设置下连通集情况是可能的。
• 本文证明，若 A 和 B 是非空闭凸集的有限并，则交替投影序列必须收敛到 A ∩ B 中的单个点，从而排除了连通集聚点的存在。
• 该证明依赖于投影的非扩张性以及基于极限点到不包含它们的集合的正距离的反证法。
• 结果证实，Combettes 和 Trussell 所提出的二分性——即收敛到单个点或非退化的连通集——在可数并情况下可以实现，但在有限并情况下无法实现。