[论文解读] On Clustering Incomplete Data

Eduard Eiben, Robert Ganian+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 53被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于聚类不完整布尔数据的参数化复杂度框架，通过填补缺失条目以实现半径或直径至多为 r 的 k 个聚类。研究证明，当联合参数化为 k、r 以及覆盖缺失条目的最小行数和列数时，该问题为固定参数可满足（fixed-parameter tractable）。研究还表明，若任意一个参数被移除，问题将变得不可满足，从而解决了关于不完整数据聚类的开放性问题。

ABSTRACT

We study fundamental clustering problems for incomplete data. In this setting, we are given a set of incomplete d-dimensional Boolean vectors (representing the rows of a matrix), and the goal is to complete the missing vector entries so that the set of complete vectors admits a partitioning into at most k clusters with radius or diameter at most r. We develop a toolkit and use it to give tight characterizations of the parameterized complexity of these problems with respect to the parameters k, r, and the minimum number of rows and columns needed to cover all the missing entries. We show that the aforementioned problems are fixed-parameter tractable when parameterized by the three parameters combined, and that dropping any of these three parameters results in parameterized intractability. We extend this toolkit to settle the parameterized complexity of other clustering problems, answering an open question along the way. We also show how our results can be extended to data over any constant-size domain. A byproduct of our results is that, for the complete data setting, all problems under consideration are fixed-parameter tractable parameterized by k+r.

研究动机与目标

• 为通过填补缺失条目来解决不完整 d 维布尔向量聚类的根本性挑战。
• 刻画在不完整数据设置下聚类问题的参数化复杂度。
• 确定确保聚类问题在半径或直径约束下固定参数可满足的最小参数组合。
• 将结果扩展至任意有限大小域上的数据，从而拓宽其在布尔数据之外的应用范围。
• 解决关于不完整数据聚类的参数化复杂度的开放性问题。

提出的方法

• 开发一个统一工具包，用于分析不完整数据下的聚类问题，重点关注三个关键参数：k（聚类数量）、r（半径或直径）以及覆盖缺失条目的最小行数和列数。
• 利用参数化复杂度理论，证明当三个参数联合使用时，问题为固定参数可满足。
• 应用该工具包分析在半径和直径约束下的聚类问题，建立紧致的复杂度界限。
• 证明若从联合参数化中移除任意一个参数，将导致参数化不可满足，从而证明联合参数化的最小性。
• 通过将完成和聚类逻辑适配至非布尔字母表，将该框架扩展至任意有限大小域上的数据。
• 证明在完整数据情况下，所有考虑的聚类问题在参数化为 k + r 时均为固定参数可满足。

实验结果

研究问题

• RQ1 当联合参数化为 k、r 和覆盖缺失条目的最小行-列覆盖时，不完整布尔数据的聚类问题是否为固定参数可满足？
• RQ2 若从联合参数化中移除 k、r 或覆盖参数中的任意一个，参数化复杂度将如何变化？
• RQ3 所提出的框架能否扩展至布尔向量之外的任意有限大小域上的数据？
• RQ4 当数据为完整与不完整时，聚类问题的参数化复杂度是否发生显著变化？
• RQ5 最小行-列覆盖在决定不完整数据聚类可满足性中的作用是什么？

主要发现

• 当联合参数化为 k、r 以及覆盖所有缺失条目所需的最小行数和列数时，不完整布尔数据的聚类问题为固定参数可满足。
• 若从三者中移除任意一个参数（k、r 或覆盖），将导致参数化不可满足，从而证明联合参数化对可满足性而言是最小的。
• 所开发的工具包能够对不完整数据下的各种聚类问题实现精确的参数化复杂度刻画。
• 该框架解决了关于不完整数据聚类的参数化复杂度的开放性问题。
• 在完整数据设置下，所有考虑的聚类问题在参数化为 k + r 时均为固定参数可满足。
• 结果可扩展至任意有限大小域上的数据，证明了其在布尔数据之外的广泛适用性。