[论文解读] On co-amenability for groups and von Neumann algebras

Nicolas Monod, Sorin Popa|ArXiv.org|Jan 30, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 20

一句话总结

本文通过构造显式反例，解决了Eymard于1972年提出的一个长期悬而未决的问题，表明共同态性（co-amenability）并不传递至子群，即使在正规子群的情况下亦然。此外，本文揭示了群中共同态性与冯诺依曼代数中共同态性之间深刻的联系，证明了群设定下的共同态性并不意味着中间子代数中的共同态性，并提供了型II₁因子中的例子，表明共同态性在中间包含关系中也会失效。

ABSTRACT

We first show that co-amenability does not pass to subgroups, answering a question asked by Eymard in 1972. We then address co-amenability for von Neumann algebras, describing notably how it relates to the former.

研究动机与目标

• 解决Eymard于1972年提出的关于共同态性是否在群论中传递至子群的问题。
• 厘清群中共同态性与冯诺依曼代数中共同态性之间的关系。
• 构造群与冯诺依曼代数的显式例子，表明共同态性在中间子群或子代数中可能失效。
• 证明群设定下的共同态性并不意味着相应群冯诺依曼代数背景下的共同态性。
• 提供型II₁因子中的例子，表明即使在具有性质(T)或ICC结构的情况下，共同态性在中间包含关系中也可能失效。

提出的方法

• 通过使用单同态 $\vartheta: K \to K$ 构造HNN扩张 $G = K*_{\vartheta}$，生成反例，使得 $K$ 在 $G$ 中共态，但在 $H_0 = t^{-1}Kt$ 中不共态。
• 利用 $\ell^\infty(G/K)$ 上 $H$-不变测度的弱-*极限（由点质量在 $t^{-k}K$ 处的极限构成）证明 $K$ 在 $G$ 中共态。
• 应用有界上同调技术，通过双 Banach $G$-模 $V$ 的限制映射 $H^n_b(G,V) \to H^n_b(H,V)$ 的单射性来刻画共同态性。
• 通过基本构造中相对于 $\langle N,B\rangle \to N$ 的范数为1的投影 $\Psi$ 的存在性，定义冯诺依曼子代数的共同态性。
• 利用超乘积构造与超有限型II₁因子 $R^\omega$，在冯诺依曼代数设定中构造共态包含关系的显式例子。
• 应用Connes的超乘积与正规化子理论，证明当 $\mathcal{G}$ 包含非阿美尼安群（如具有性质(T)的群）时，$R\vee R_\omega$ 在 $N = (R\vee R_\omega) \rtimes \mathcal{G}$ 中不共态。

实验结果

研究问题

• RQ1 群 $G$ 中子群 $K$ 的共同态性是否意味着 $K$ 在任意中间子群 $H$ 中也共同态？
• RQ2 即使子群在中间群中是正规的，群中的共同态性是否仍可能不传递至子群？
• RQ3 群中的共同态性与群的相应群冯诺依曼代数中的共同态性之间有何关系？
• RQ4 是否存在型II₁因子的包含关系 $N_0 \subset N \subset M$，使得 $N_0$ 在 $M$ 中共态但在 $N$ 中不共态？
• RQ5 在群设定中，共同态性是否可能不传递至冯诺依曼代数设定，特别是当群具有性质(T)时？

主要发现

• 本文构造了一个三元组 $K \lhd H_0 < G$，使得 $K$ 在 $G$ 中共态但在 $H_0$ 中不共态，从而对Eymard于1972年提出的问题给出了否定回答。
• 对任意群 $Q$，存在一个三元组 $K \lhd H_0 < G$，使得 $K$ 在 $G$ 中共态，且 $H_0/K \cong Q$，其中 $G$ 是有限生成的，若 $Q$ 具有这些性质，则 $G$ 也是ICC群。
• 当 $Q$ 具有这些性质时，作为受限的半直积 $Q \wr \mathbb{Z}$ 构造的群 $G$ 是ICC群、无挠群且有限表示。
• 冯诺依曼子代数 $B$ 在 $N$ 中的共同态性等价于存在一个范数为1的投影 $\Psi: \langle N,B\rangle \to N$。
• 存在型II₁因子的包含关系 $N_0 \subset N \subset M$，使得 $N_0$ 在 $M$ 中共态但在 $N$ 中不共态，即使 $N$ 相对于 $N_0$ 具有相对性质(T)。
• 当 $\mathcal{G}$ 包含非阿美尼安群（如具有性质(T)的群）时，冯诺依曼代数 $N = (R\vee R_\omega) \rtimes \mathcal{G}$ 在 $R\vee R_\omega$ 上不共态。