[论文解读] On Coarse Spectral Geometry in Even Dimension

Robert Yuncken|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过引入实数轴上关于反射对合 $ \sigma $ 的对称Roe代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $，建立了Roe粗略谱几何在偶数维的类比。证明了 $ K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $，$ K_1 = 0 $，并表明在K-理论上诱导的映射恢复了K-同调与K-理论之间的指标配对，相较于以往的平衡构造，提供了更为几何自然的框架。

ABSTRACT

Let $σ$ be the involution of the Roe algebra $\Roe{\RR}$ which is induced from the reflection $\RR o\RR; x\mapsto -x$. A graded Fredholm module over a separable $C^*$-algebra $A$ gives rise to a homomorphism $ ildeρ:A o\Roe{\RR}^σ$ to the fixed-point subalgebra. We use this observation to give an even-dimensional analogue of a result of Roe. Namely, we show that the $K$-theory of this symmetric Roe algebra is $K_0(\Roe{\RR}^σ)\cong\ZZ$, $K_1(\Roe{\RR})=0$, and that the induced map $ ildeρ_*:K_0(A) o \ZZ$ on $K$-theory gives the index pairing of $K$-homology with $K$-theory.

研究动机与目标

• 为偶数维粗略谱几何提供一个几何上更自然的框架，避免Luu方法中所需的计算量大的‘平衡’过程。
• 通过实数轴上反射对合 $ \sigma $ 的作用，定义对称Roe代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ 作为不动点子代数。
• 证明该对称Roe代数的K-理论为 $ K_0 \cong \mathbb{Z} $，$ K_1 = 0 $，与 $ \mathbb{Z} $ 在度数0处的K-理论一致。
• 证明诱导映射 $ \tilde{\rho}_*: K_0(A) \to K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $ 计算了K-同调与K-理论之间的指标配对。

提出的方法

• 将 $ \sigma $-不变的 $ C^* $-代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ 构造为Roe代数在反射 $ x \mapsto -x $ 作用下的不动点子代数。
• 利用 $ C^* $-代数 $ A $ 上的分次Fredholm模组 $ (H, \rho, D) $，诱导出一个 $ \ast $-同态 $ \tilde{\rho}: A \to C^*|\mathbb{R}|^\sigma $。
• 对扩张 $ 0 \to \mathcal{K}(\mathcal{H})^\sigma \to C^*|\mathbb{R}|^\sigma \to C^*|Y_+|/\mathcal{K}(\mathcal{H}_+) \to 0 $ 应用K-理论的六项正合列，利用已知的 $ C^*|Y_+| $ 的K-理论。
• 通过在投影上使用迹论证，证明边界映射 $ \partial: K_1(C^*|\mathbb{R}|^\sigma / \mathcal{K}(\mathcal{H})^\sigma) \to K_0(\mathcal{K}(\mathcal{H})^\sigma) $ 的像为 $ \{(n,n)\} \subset \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $。
• 应用六项正合列推导出 $ K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $，$ K_1(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) = 0 $。
• 通过将 $ \tilde{\rho}(p) $ 替换为有限秩投影，并计算其偶部与奇部谱子空间的维数差，证明指标配对 $ (\theta, [p]) $ 等于 $ \tilde{\rho}_*([p]) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在偶数维中构造一个对称Roe代数，以避免对Fredholm模组进行‘平衡’的需要？
• RQ2 在反射对合作用下，不动点子代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ 的K-理论是什么？
• RQ3 诱导映射 $ \tilde{\rho}_*: K_0(A) \to K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) $ 是否在偶数维粗略谱几何中恢复了指标配对？
• RQ4 该对称Roe代数与Luu在偶数度上的 $ KC^n $-形式的 $ KK $-理论有何关系？

主要发现

• 通过对K-理论的六项正合列计算，得到对称Roe代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ 的K-理论为 $ K_0 \cong \mathbb{Z} $，$ K_1 = 0 $。
• 诱导映射 $ \tilde{\rho}_*: K_0(A) \to K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $ 与分次Fredholm模组的K-同调类和 $ K_0(A) $ 中的K-理论类之间的指标配对一致。
• 指标配对 $ (\theta, [p]) $ 等于投影 $ \tilde{\rho}(p) $ 的偶部与奇部谱子空间维数之差，该差值等于 $ \tilde{\rho}_*([p]) $。
• 该构造避免了‘平衡’Fredholm模组的需要，否则需使用无限直和，从而掩盖了谱关系。
• 对称Roe代数为偶数维粗略谱几何提供了比以往方法更几何自然的框架。
• 该结果支持了通过 $ \sigma $-等变态射进入 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ 定义的 $ KC^0_\sigma(A, \mathbb{C}) $ 重新表述 $ KK^0(A, \mathbb{C}) $ 的存在性。