[论文解读] On Cobweb Posets and Discrete F-Boxes Tilings

Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|Feb 24, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文引入了F-boxes——在N^∞中的离散超盒，其边长由序列F定义——以几何方式建模蛛网偏序集的哈斯图。证明了对于可接受的F序列，存在F-tilings（即划分为形如σV_m的子盒），将铺砖问题重新表述为在特殊构造图中的团问题，并确立了铺砖数量等于该图中最大团的数量，该结果在二项式、斐波那契多项式及高斯系数中具有应用。

ABSTRACT

F-boxes defined in [6] as hyper-boxes in N^{\infty} discrete space were applied here for the geometric description of the cobweb posetes Hasse diagrams tilings. The F-boxes edges sizes are taken to be values of terms of natural numbers' valued sequence F. The problem of partitions of hyper-boxes represented by graphs into blocks of special form is considered and these are to be called F-tilings. The proof of such tilings' existence for certain sub-family of admissible sequences F is delivered. The family of F-tilings which we consider here includes among others F = Natural numbers, Fibonacci numbers, Gaussian integers with their corresponding F-nomial (Binomial, Fibonomial, Gaussian) coefficients. Extension of this tiling problem onto the general case multi F-nomial coefficients is here proposed. Reformulation of the present cobweb tiling problem into a clique problem of a graph specially invented for that purpose - is proposed here too. To this end we illustrate the area of our reconnaissance by means of the Venn type map of various cobweb sequences families.

研究动机与目标

• 为通过N^∞中的离散F-boxes对蛛网偏序集的哈斯图提供几何解释。
• 通过将F-boxes划分为形如σV_m的子盒来解决蛛网铺砖问题。
• 证明对F-可接受序列的一个子族，此类F-tilings的存在性。
• 将铺砖问题重新表述为基于蛛网块中最大路径交集构造的图中的团问题。
• 将铺砖框架扩展至多F-多项式系数，并推广组合解释。

提出的方法

• 将m维F-box V_{m,n}定义为区间 [k_F] × [(k+1)_F] × … × [n_F] 的乘积，其中 k = n−m+1。
• 引入F-可接受序列，即所有F-多项式系数为自然数的序列，以确保有效铺砖划分。
• 使用F-多项式系数 {{n} {m}}_F 来计算V_{m,n}的κ-划分中形如σV_m的子盒数量。
• 构造图G(⟨Φ_k→Φ_n⟩)，其顶点为形如σP_m的块，边连接最大路径集不相交的块。
• 证明蛛网铺砖恰好对应于图G(⟨Φ_k→Φ_n⟩)中大小为d = m_F!的团，其中d = {{n} {m}}_F。
• 使用类似文氏图的映射对蛛网序列族进行分类，包括可接受序列、GCD-同态序列及铺砖特异序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些F序列，存在m维F-box V_{m,n}的F-铺砖？
• RQ2 如何利用F-多项式系数组合地表征F-铺砖的数量？
• RQ3 能否将蛛网铺砖问题重新表述为基于蛛网块最大路径集导出的图中的团问题？
• RQ4 所构造图中最大团的数量与F-铺砖数量之间有何关系？
• RQ5 多F-多项式系数如何将铺砖框架推广至标准F-多项式系数之外？

主要发现

• 当且仅当序列F为F-可接受时，即所有F-多项式系数{{n} {m}}_F为自然数时，m维F-box V_{m,n}存在F-铺砖。
• 层⟨Φ_k→Φ_n⟩的F-铺砖数量等于图G(⟨Φ_k→Φ_n⟩)中最大团的数量，团的大小为d = m_F!。
• 在V_{m,n}的κ-划分中，形如σV_m的子盒数量恰好为{{n} {m}}_F，对于F-可接受序列该值为自然数。
• 铺砖问题等价于在图G(⟨Φ_k→Φ_n⟩)中寻找大小为d = m_F!的团，其中顶点代表块σP_m，边表示最大路径集不相交。
• F-铺砖族包括众所周知的情形，如二项式（自然数）、斐波那契多项式（斐波那契数列）及高斯系数（高斯整数），这些均统一于F-铺砖框架之下。
• 图15中的类似文氏图的映射将蛛网序列划分为若干族，如可接受序列、GCD-同态序列及铺砖特异序列，而铺砖序列的完整边界仍存在未解问题。