[论文解读] On codimension 1 del Pezzo foliations on varieties with mild singularities

Carolina Araujo, Stéphane Druel|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文将法诺叶状丛理论扩展至具有轻微奇点的代数簇，聚焦于余维数1的德尔佩佐叶状丛——即指标等于秩减一的叶状丛。在klt与正则性条件下，证明了此类叶状丛在轻微奇点代数簇上可通过到加权射影空间的有理映射或向量场叶状丛的拉回进行分类，利用消去定理与阿蒂yah类将经典结果推广至奇点情形。

ABSTRACT

In this paper we extend to the singular setting the theory of Fano foliations developed in our previous paper. A Q-Fano foliation on a complex projective variety X is a foliation F whose anti-canonical class is an ample Q-Cartier divisor. In the spirit of Kobayashi-Ochiai Theorem, we prove that under some conditions the index i of a Q-Fano foliation is bounded by the rank r of F, and classify the cases in which i=r. Next we consider Q-Fano foliations F for which i=r-1. These are called del Pezzo foliations. We classify codimension 1 del Pezzo foliations on mildly singular varieties.

研究动机与目标

• 将法诺叶状丛理论，特别是德尔佩佐叶状丛理论，推广至具有klt奇点等轻微奇点的复射影代数簇。
• 将Kobayashi-Ochiai定理推广至具有奇点的代数簇上的$\mathbb{Q}$-法诺叶状丛情形。
• 在极化与指标约束条件下，对在余维数2处正则的klt代数簇上余维数1德尔佩佐叶状丛进行分类。
• 利用Serre条件与局部上同调，建立对偶叶状丛层上同调群的消去结果。

提出的方法

• 采用$\mathbb{Q}$-法诺叶状丛的概念，其中$-K_{\mathscr{F}}$为一个ample的$\mathbb{Q}$-Cartier除子，并将指标$i_{\mathscr{F}}$定义为满足$-K_{\mathscr{F}} \sim_{\mathbb{Q}} i_{\mathscr{F}} H$的最大有理数，其中$H$为一个Cartier除子。
• 应用Kawamata-Viehweg消去定理，证明在$X$为klt且$\mathscr{F}$在余维数2处正则的假设下，$h^1(X, \mathscr{O}_X(K_X) \otimes \mathscr{L}) = 0$，其中$\mathscr{L} = \det(\mathscr{F})$。
• 运用引理6.4关于Serre条件$S_k$，将$X$与一个满足$\operatorname{codim}(X \setminus U) \geq 3$的光滑开子集$U \subset X$上的上同调群等同，确保$h^1(U, \mathscr{Q}^*_{|U}) = h^1(X, \mathscr{Q}^*)$。
• 利用商层$\mathscr{Q} = T_X / \mathscr{F}$的Atiyah类$at(\mathscr{Q})$分析可积性，通过局部坐标系计算与李括号封闭性证明$\delta(at(\mathscr{Q})) = 0$。
• 应用局部上同调的谱序列，推导出当$\mathscr{G}$满足$S_k$且$\operatorname{codim}(X \setminus U) \geq k$时，有$H^i(X, \mathscr{G}) \simeq H^i(U, \mathscr{G}_{|U})$（$i \leq k-1$），从而实现上同调比较。
• 通过导出矛盾：证明$\mathscr{O}_X(k(K_{\mathscr{F}} + c_1(\mathscr{L}))) \simeq \mathscr{O}_X$，但$h^0(X, \Omega^q_X \otimes \mathscr{O}_X(-K_{\mathscr{F}} - c_1(\mathscr{L}))) \neq 0$，违反引理2.10。

实验结果

研究问题

• RQ1 在klt代数簇$X$上，$\mathbb{Q}$-法诺叶状丛$\mathscr{F}$的指标$i_{\mathscr{F}}$在何种条件下满足$i_{\mathscr{F}} \leq r$，其中$r$为$\mathscr{F}$的秩？
• RQ2 何时$\mathbb{Q}$-法诺叶状丛满足$i_{\mathscr{F}} = r$？此时$X$上对应的几何结构是什么？
• RQ3 对在余维数2处正则的klt代数簇，余维数1德尔佩佐叶状丛（$i_{\mathscr{F}} = r - 1$）的分类是什么？
• RQ4 消去定理与Atiyah类技术如何在奇点情形下约束反典范除子的极化性存在？
• RQ5 Kobayashi-Ochiai定理能否推广至具有奇点的代数簇上的$\mathbb{Q}$-法诺叶状丛？其极值情形为何？

主要发现

• 在正规射影代数簇$X$上，$\mathbb{Q}$-法诺叶状丛的指标$i_{\mathscr{F}}$满足$i_{\mathscr{F}} \leq r$，且等式成立当且仅当$(X, \mathscr{L}) \simeq (\mathbb{P}^n, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(1))$且$\deg(\Delta) = n+1-i$，在$-(K_X + \Delta) \sim_{\mathbb{Q}} i c_1(\mathscr{L})$的条件下。
• 若$i_{\mathscr{F}} = r$，则要么$X \simeq \mathbb{P}^n$且$\deg(\Delta) = 1$，要么$\Delta = 0$且$X$为$\mathbb{P}^{n+1}$中的二次曲面$Q_n$，且$\mathscr{L} \simeq \mathscr{O}_{Q_n}(1)$。
• 对于在余维数2处正则的klt代数簇上的余维数1德尔佩佐叶状丛，其反典范类$-K_{\mathscr{F}}$不可能为ample，该结论通过上同调消去与Atiyah类分析导出矛盾。
• 在$X$为klt且$\mathscr{F}$在余维数2处正则的假设下，通过Kawamata-Viehweg消去定理，确立了$h^1(X, \mathscr{O}_X(K_X) \otimes \mathscr{L}) = 0$。
• 商层$\mathscr{Q} = T_X / \mathscr{F}$的Atiyah类$at(\mathscr{Q})$在光滑子集$U$上为零，意味着$\delta(at(\mathscr{Q})) = 0$，从而推出$K_X + c_1(\mathscr{L}) \equiv 0$。
• 矛盾源于$\mathscr{O}_X(k(K_{\mathscr{F}} + c_1(\mathscr{L}))) \simeq \mathscr{O}_X$，但$h^0(X, \Omega^q_X \otimes \mathscr{O}_X(-K_{\mathscr{F}} - c_1(\mathscr{L}))) \neq 0$，违反引理2.10。