[论文解读] On cofinite subgroups of mapping class groups

Mustafa Korkmaz|ArXiv.org|Jul 9, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文为亏格至多为二的曲面的映射类群构造了余有限子群，这些子群可满同态到任意秩 n 的自由群，证明其一阶上同调的秩至少为 n，且二阶有界上同调的维数为连续统。此外，对于亏格二的情况，此类子群可避免包含托里奇群，并构造了四 punctured sphere 或环面的映射类群的有限指数子群的一个自同构，该自同构无法延拓至整个群。

ABSTRACT

For any positive integer $n$, we exhibit a cofinite subgroup $Γ_n$ of the mapping class group of a surface of genus at most two such that $Γ_n$ admits an epimorphism onto a free group of rank $n$. We conclude that $H^1(Γ_n;\Z)$ has rank at least $n$ and the dimension of the second bounded cohomology of each of these mapping class groups is the cardinality of the continuum. In the case of genus two, the groups $Γ_n$ can be chosen not to contain the Torelli group. Similarly for hyperelliptic mapping class groups. We also exhibit an automorphism of a subgroup of finite index in the mapping class group of a sphere with four punctures (or a torus) such that it is not the restriction of an endomorphism of the whole group.

研究动机与目标

• 为映射类群构造余有限子群，使其一阶上同调秩可任意大。
• 证明这些映射类群的二阶有界上同调维数等于连续统。
• 证明在亏格二的情况下，此类子群可被选为不包含托里奇群。
• 构造四 punctured sphere 或环面的映射类群的有限指数子群的一个自同构，该自同构无法延拓至整个群。

提出的方法

• 通过德恩变换和弧结构，显式构造亏格 ≤2 曲面的映射类群中余有限指数的子群 Γₙ。
• 利用 n 个点的球面的纯映射类群，通过短正合列生成自由群商。
• 应用提升论证，定义在子群上无法延拓至整个群的自同构。
• 运用同调代数分析 H¹(Γₙ; ℤ) 和有界上同调维数。
• 利用双曲对合及其中心化子的结构，在亏格二情况下定义子群。
• 在同调中使用反证法，证明某些自同构在纯映射类群上无法延拓至整个映射类群。

实验结果

研究问题

• RQ1 亏格二曲面的映射类群的有限指数子群能否具有任意大一阶上同调秩？
• RQ2 能否构造不包含托里奇群的此类子群？
• RQ3 低亏格曲面的映射类群的二阶有界上同调维数是多少？
• RQ4 四 punctured sphere 或环面的映射类群的有限指数子群的自同构是否可能无法延拓至整个群？

主要发现

• 对任意正整数 n，存在亏格至多为二的曲面的映射类群的一个有限指数子群 Γₙ，它可满同态到秩为 n 的自由群。
• 一阶上同调 H¹(Γₙ; ℤ) 的秩至少为 n，表明上同调秩可任意大。
• 映射类群的二阶有界上同调维数等于连续统的基数。
• 在亏格二情况下，所构造的子群 Γₙ 可被选为不包含托里奇群。
• 对于四 punctured sphere 或环面的映射类群，存在一个有限指数子群，其自同构无法延拓至整个群的任意自同态。
• 该构造依赖于秩 ≥2 的自由群上自同构的不可延拓性，这些自由群作为构建映射类群子群的基本构件。