[论文解读] On commuting Tonelli Hamiltonians: Time-periodic case

Xiaojun Cui|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文证明了两个对易的时变周期Tonelli哈密顿量具有相同的Aubry集、Mañé集和屏障函数，将自治情形下的结果推广至时变周期情形。尽管缺乏能量积分，作者通过弱KAM理论和时变Legendre变换，证明了在对易条件下，弱极小化子、临界次解和作用泛函等动力结构保持不变。

ABSTRACT

We show that the Aubry sets, the Mañé sets and Mather's barrier functions are the same for two commuting time-periodic Tonelli Hamiltonians.

研究动机与目标

• 将对易自治Tonelli哈密顿量的理论推广至时变周期情形，其中能量积分不存在，且Lax-Oleinik半群无法收敛。
• 研究时不变能量守恒的缺失如何影响时变周期系统中不变集（如Aubry集和Mañé集）的结构。
• 在时变周期情形下，建立关键动力对象——Aubry集、Mañé集、屏障函数——在对易条件 $[H_1, H_2] = 0$ 下的不变性。
• 探讨和哈密顿量之和 $H_1 + H_2$ 的动力学关系，其无法直接从单个哈密顿量的动力学推导，因时间依赖性所致。
• 提出一个猜想：两个对易的时变周期哈密顿-雅可比方程存在一个共同的 $C^{1,1}$ 临界次解。

提出的方法

• 利用弱KAM理论和Mather理论分析闭黎曼流形上时变周期Tonelli哈密顿量的动力学。
• 通过括号 $[H_1, H_2] = \{H_1, H_2\} + \partial_t H_1 - \partial_t H_2 = 0$ 定义对易条件，该式将泊松括号推广至时变系统。
• 应用Legendre变换 $\mathcal{L}_H$ 关联拉格朗日与哈密顿动力学，实现切丛与余切丛之间弱极小化子和不变测度的映射。
• 引入作用泛函 $h_H^{T}$ 及其极限 $h_H$，通过 $\rho_H(q_1,[t_1], q_2,[t_2]) = h_H((q_1,[t_1]),(q_2,[t_2])) + h_H((q_2,[t_2]),(q_1,[t_1]))$ 定义屏障函数 $\rho_H$。
• 利用子解空间 $\mathcal{S}^+_H$ 和 $\mathcal{S}^-_H$，通过具有匹配渐近行为的子解对的下确界定义屏障函数。
• 应用时变周期情形下的弱KAM定理，依赖于Massart和Bernard关于 $C^1$ 与 $C^{1,1}$ 临界子解的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个对易的时变周期Tonelli哈密顿量是否具有相同的Aubry集和Mañé集？
• RQ2 缺乏能量积分如何影响Lax-Oleinik半群的收敛性及不变测度的结构？
• RQ3 能否证明两个对易的时变周期哈密顿量的屏障函数和作用泛函完全相同？
• RQ4 是否存在一个共同的 $C^{1,1}$ 临界子解，使得两个对易的时变周期哈密顿-雅可比方程同时满足？
• RQ5 当 $[H_1, H_2] = 0$ 时，和哈密顿量 $H_1 + H_2$ 的动力结构与 $H_1$ 和 $H_2$ 的动力结构有何关系？

主要发现

• 对于两个对易的时变周期Tonelli哈密顿量，Aubry集 $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{A}}_{H_1}$ 与 $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{A}}_{H_2}$ 完全重合。
• 在对易条件 $[H_1, H_2] = 0$ 下，Mañé集 $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{N}}_{H_1}$ 与 $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{N}}_{H_2}$ 完全相同。
• 屏障函数 $b_{H_1}$ 与 $b_{H_2}$ 相等，作用泛函 $\rho_{H_1}$ 与 $\rho_{H_2}$ 也相等，表明在投影相空间上具有等距结构。
• 弱极小化子集合 $\dot{W}_{H_1}$ 与 $\dot{W}_{H_2}$ 在 $TM \times \mathbb{T}$ 中相同，其在Legendre变换下的像在 $T^*M \times \mathbb{T}$ 中也相同。
• 投影Aubry集与Mañé集满足 $A_{H_1} = A_{H_2}$ 与 $N_{H_1} = N_{H_2}$，在 $M \times \mathbb{T}$ 中相等。
• 本文猜想：两个对易的时变周期Tonelli哈密顿量至少存在一个共同的 $C^{1,1}$ 临界子解，用于其各自的哈密顿-雅可比方程。