[论文解读] On comparing Zagreb indices

Aleksandar Ilić, Dragan Stevanović|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Graph theory and applications被引用 66

一句话总结

本文研究了关于所有简单连通图均有 M1/n ≤ M2/m 的猜想，证明其在正则图和细分图中成立，但对具有 ≥2 个圈的连通图不成立。作者建立了 M1/n 和 M2/m 的紧确下界与上界，表明等式仅在正则图中成立，并构造了具有任意圈数的显式反例，证明该猜想需依赖结构约束（如有界圈数或最大度）。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a simple graph with $n = |V|$ vertices and $m = |E|$ edges. The first and second Zagreb indices are among the oldest and the most famous topological indices, defined as $M_1 = \sum_{i \in V} d_i^2$ and $M_2 = \sum_{(i, j) \in E} d_i d_j$, where $d_i$ denote the degree of vertex $i$. Recently proposed conjecture $M_1 / n \leqslant M_2 / m$ has been proven to hold for trees, unicyclic graphs and chemical graphs, while counterexamples were found for both connected and disconnected graphs. Our goal is twofold, both in favor of a conjecture and against it. Firstly, we show that the expressions $M_1/n$ and $M_2/m$ have the same lower and upper bounds, which attain equality for and only for regular graphs. We also establish sharp lower bound for variable first and second Zagreb indices. Secondly, we show that for any fixed number $k\geqslant 2$, there exists a connected graph with $k$ cycles for which $M_1/n>M_2/m$ holds, effectively showing that the conjecture cannot hold unless there exists some kind of limitation on the number of cycles or the maximum vertex degree in a graph. In particular, we show that the conjecture holds for subdivision graphs.

研究动机与目标

• 解决一般简单图的猜想 M1/n ≤ M2/m。
• 确定该猜想成立或不成立的结构条件。
• 为 M1/n 和 M2/m 建立紧确下界与上界，表明等式仅在正则图中成立。
• 研究可变扎格雷布指标的行为并推导其界。
• 构造具有任意圈数的反例，证明该猜想在无约束条件下不可能普遍成立。

提出的方法

• 应用柯西-施瓦茨不等式，推导出紧确下界 M1 ≥ 4m²/n，等式成立当且仅当图 G 为正则图。
• 在对数函数上应用 AM-GM 不等式与詹森不等式，证明 M2 ≥ 4m³/n²，等式成立当且仅当图 G 为正则图。
• 以最大度 Δ 和最小度 δ 表示 M1/n 和 M2/m 的上界，等式成立当且仅当图 G 为正则图。
• 构造一族图 C(a,b)，其中 a 个星形与 b 个三角形依次连接，以生成具有 b 个圈的反例。
• 分析关于 a 的二次不等式 M2·n − M1·m ≥ 0，以确定猜想何时不成立。
• 通过证明 M1(S(G))/(n+m) ≤ M2(S(G))/(2m) 证明该猜想在细分图中成立，等式成立当且仅当原图 G 为正则图。

实验结果

研究问题

• RQ1 不等式 M1/n ≤ M2/m 是否对所有连通简单图成立？
• RQ2 M1/n 和 M2/m 的紧确下界与上界是什么？在何种条件下达到？
• RQ3 能否构造出具有任意圈数的该猜想反例？
• RQ4 在何种图结构下，猜想 M1/n ≤ M2/m 成立？
• RQ5 该猜想是否对任意图的细分图成立？

主要发现

• 表达式 M1/n 和 M2/m 共享相同的紧确下界 4m²/n²，当且仅当图是正则图时达到。
• 表达式 M1/n 和 M2/m 共享相同的紧确上界 ΔM1/(2m)，当且仅当图是正则图时达到。
• 对于任意固定的 b ≥ 2，存在一个具有 b 个圈的连通图，使得 M1/n > M2/m，从而在无结构约束下否定该猜想。
• 该猜想 M1/n ≤ M2/m 在细分图中成立，等式成立当且仅当原图是正则图。
• 具有 19 个顶点和 58 条边的反例 C(12,2) 是目前已知具有 2 个圈的最小连通反例。
• 可变扎格雷布指标 λM1 和 λM2 满足 λM1 ≥ n(2m/n)²λ 和 λM2 ≥ m(2m/n)²λ，等式成立当且仅当图是正则图。