[论文解读] On completely factoring any integer efficiently in a single run of an order finding algorithm

Martin Ekerå|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 13

一句话总结

本文证明，通过经典后处理方法（Miller算法），单次量子阶查找运行即可以极高概率完全分解任意奇数N。给定Z∗_N中随机选取元素的阶r，该方法可在多项式时间内高效计算出N的完整素因数分解，使得Shor算法的量子部分仅需一次执行即可在温和的概率条件下实现完全分解。

ABSTRACT

We show that given the order of a single element selected uniformly at random from $\mathbb Z_N^*$, we can with very high probability, and for any integer $N$, efficiently find the complete factorization of $N$ in polynomial time. This implies that a single run of the quantum part of Shor's factoring algorithm is usually sufficient. All prime factors of $N$ can then be recovered with negligible computational cost in a classical post-processing step. The classical algorithm required for this step is essentially due to Miller.

研究动机与目标

• 证明单次量子阶查找运行足以实现对任意整数N的完全分解。
• 通过从单个阶r中实现经典恢复所有素因数，消除Shor算法中递归量子调用的需求。
• 改进Shor原始方法，表明即使阶为奇数或含有小素因数的阶，亦可有效用于分解。
• 提供一种确定性的经典后处理方法，对任意合数N均以高概率有效。
• 证明通过调节参数c和k，可使成功概率任意提高。

提出的方法

• 将随机选取的g ∈ Z∗_N的阶r作为经典算法的输入。
• 将r分解为其素因数幂形式，以识别小的和中等大小的素因数。
• 对r的每个此类素因数q，计算gcd((g^{r/q} − 1) mod N, N)以检测N的非平凡因数。
• 尝试所有这些素因数（含重数）的组合，以最大化找到非平凡因子的概率。
• 利用中国剩余定理和pi−1的已知因数分解，对测试目的进行经典模拟阶查找。
• 调节参数c（定义边界m′ = cm）和k（迭代次数），以控制失败概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 单次量子阶查找运行是否足以在无需递归量子调用的情况下完全分解任意整数N？
• RQ2 从单个阶r中恢复N的所有素因数的成功概率是多少？如何使其最大化？
• RQ3 能否有效利用奇数阶或含小素因数的阶来恢复N的非平凡因数？
• RQ4 基于Miller方法的经典后处理步骤在N的不同素因数数量增加时，其扩展性如何？
• RQ5 经典恢复算法的失败概率是否存在紧致界？

主要发现

• 该算法在多项式时间内完全分解N，失败概率被限制在2^{-k} * (n choose 2) + 1/(2c² log² cm)以内，其中n为不同素因数的个数。
• 通过选择k = (2 + τ) log n（τ ≥ 1），可使失败概率任意降低至≤ n^{-τ}。
• 对任意合数N，该算法可从单个阶r中以高概率高效恢复所有素因数。
• 即使r为奇数或gr/2 ≡ -1 mod N，该方法仍能通过利用r的小素因数实现有效分解。
• Sage中的模拟结果表明，对于含最多25个素因数的N，该算法在标准硬件上仅需数秒至数分钟即可成功恢复所有因数。
• 时间复杂度主要由k次模N的幂运算决定，每次运算的指数为O(m)位，表明经典后处理极为高效。