[论文解读] On completely regular and strongly regular ordered $\Gamma$-semigroups

Niovi Kehayopulu|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过扩展有序半群中的概念，建立了完全正则和强正则有序Γ-半群的刻画。引入了强正则po-Γ-半群，证明了完全正则性等价于双理想是半素的，并表明强正则性蕴含左、右及双边正则性，且通过关键等价关系将强正则性与子半群（MΓaΓM）的结构联系起来。

ABSTRACT

Our aim is to show the way we pass from the results of ordered semigroups (or semigroups) to ordered $\\Gamma$-semigroups (or $\\Gamma$-semigroups). The results of this note have been transferred from ordered semigroups. The concept of strongly regular $po$-$\\Gamma$-semigroups has been first introduced here and a characterization of strongly regular $po$-$\\Gamma$-semigroups is given.

研究动机与目标

• 通过调整定义和性质，将有序半群中的结果推广到有序Γ-半群。
• 定义并研究本文提出的新类——强正则po-Γ-半群。
• 利用双理想与子半群结构，建立po-Γ-半群中完全正则性与强正则性的等价刻画。
• 证明在po-Γ-半群中，强正则性蕴含左正则性、右正则性及双边正则性。
• 证明完全正则性等价于每个双理想都是半素的，并将其与生成双理想的等式关系联系起来。

提出的方法

• 调整po-Γ-半群中双理想的定义：子集B是双理想当且仅当BΓMΓB ⊆ B且对序关系封闭（若b ≤ a且b ∈ M，则b ∈ B）。
• 使用生成双理想的概念：B(A) = (A ∪ AΓAΓA]，其中A为子集，B(a) = (a ∪ aΓaΓa]。
• 应用关键条件：po-Γ-半群M是完全正则的，当且仅当对每个a ∈ M，存在x ∈ M及γ,μ,ρ,ξ ∈ Γ，使得a ≤ (aγa)μxρ(aξa)。
• 建立完全正则性与双理想为半素的等价关系：若aΓa ⊆ B，则必有a ∈ B。
• 证明完全正则性等价于对所有a ∈ M，有B(a) = B(aΓa) = B(aΓaΓMΓaΓa)。
• 通过条件a ≤ aγxμa且aγx = xγa = xμa = aμx（存在x ∈ M及γ,μ ∈ Γ）引入强正则性，并证明其蕴含关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 强正则性在po-Γ-半群中的适当推广是什么？它与正则性之间有何关系？
• RQ2 如何利用po-Γ-半群中的双理想概念刻画完全正则性？
• RQ3 在完全正则po-Γ-半群中，生成双理想B(a)、B(aΓa)与B(aΓaΓMΓaΓa)之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下po-Γ-半群是强正则的？这与子半群（MΓaΓM）的正则性有何关联？
• RQ5 对所有双理想B，条件B = (BΓB]是否足以推出po-Γ-半群的正则性？

主要发现

• po-Γ-半群M是完全正则的，当且仅当对每个a ∈ M，存在x ∈ M及γ,μ,ρ,ξ ∈ Γ，使得a ≤ (aγa)μxρ(aξa)。
• 在po-Γ-半群中，完全正则性等价于每个双理想都是半素的：若aΓa ⊆ B，则必有a ∈ B。
• 在完全正则po-Γ-半群中，对所有a ∈ M，有B(a) = B(aΓa) = B(aΓaΓMΓaΓa)。
• 在完全正则po-Γ-半群中，每个双理想B满足B = (BΓB]，且反之，若对所有双理想都有B = (BΓB]，则M是正则的。
• po-Γ-半群M是强正则的，当且仅当它既是左正则的，又是右正则的，且对每个a ∈ M，(MΓaΓM]是强正则的。
• 强正则性蕴含：对每个a ∈ M，存在x ∈ M及γ,μ ∈ Γ，使得a ≤ aγxμa，且aγx = xγa = xμa = aμx。