[论文解读] On complex and real identifiability of tensors

Elena Angelini|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文研究张量的复数与实数可辨识性，聚焦于由于椭圆正规曲线存在而导致一般可辨识性失效的情形。通过代数几何与实代数曲线方法，作者表明：对于某些张量类型，当复数分解为有限且对称时，实数可辨识性可在欧氏开集中恢复；而当复数分解为无限或非实数时，实数可辨识性则会失败。

ABSTRACT

We report about the state of the art on complex and real generic identifiability of tensors, we describe some of our recent results obtained in [6] and we present perspectives on the subject.

研究动机与目标

• 澄清张量分解中复数与实数一般可辨识性的区别。
• 研究当复数不可辨识时，实数可辨识性在欧氏开集中何时可被恢复。
• 对由于椭圆正规曲线导致复数可辨识性失效的张量空间进行分类。
• 确定在复数分解有限时实数可辨识性成立区域的测度与结构。
• 探讨当复数可辨识性失效的原因超出椭圆曲线时，实数可辨识性的行为。

提出的方法

• 使用代数几何分析张量分解，特别是秩-1张量及其可迁曲面的几何性质。
• 应用复射影空间与实射影空间中椭圆正规曲线的结果，构造多种复数分解。
• 运用引理由 Chiantini-Ciliberto (2006) 提出的命题 2.1，证明在 2k-1 维空间中，一般点恰好位于两条与椭圆曲线的 k-重切空间 P^{k-1} 上。
• 引入 P^{2k-1}_R 中的实椭圆正规曲线，并根据与曲线相交于实点与非实点的 k-重切空间的实性，对点 P 进行分类。
• 通过将实分解与曲线上可迁曲面的实点关联，将分类应用于张量空间。
• 采用计算机辅助的同伦延拓与单值化环路方法，计算特定对称与部分对称张量情形下的实数可辨识性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在张量类型与秩满足何种条件时，即使复数可辨识性失效，实数可辨识性仍可在欧氏开集中成立？
• RQ2 椭圆正规曲线的存在如何影响张量分解的数量与实性？
• RQ3 当复数可辨识性因有限非实分解而失效时，承认实数可辨识性的张量集合的测度是多少？
• RQ4 当复数可辨识性失效并非由于椭圆曲线，而是由于无限复数分解时，实数可辨识性是否可被恢复？
• RQ5 D - n_d + 1 的奇偶性如何影响子一般秩情形下实数可辨识性的存在性？

主要发现

• 在开集 U₁ 中，实数可辨识性成立，且实数秩等于复数秩。
• 在 U₂ 中，复数可辨识性失效，且实数可辨识性不成立，尽管实数秩与复数秩一致。
• 在 U₃ 中，实数秩超过复数秩，无法对实数可辨识性做出结论。
• 当复数分解为有限且 D - n_d + 1 为偶数时，实数可辨识性可能在欧氏开集中成立；当为奇数时则不能。
• 在对称情形 (C^3)^{igotimes 7}（秩 12）与 (C^3)^{igotimes 8}（秩 15）中，通过同伦延拓方法确认实数可辨识性成立。
• 在部分对称情形 ((C^3)^{igotimes 3})^{igoplus 3} igoplus (C^3)^{igotimes 2}（秩 6）中，实数可辨识性在开集中成立，经计算验证。