[论文解读] On compositions of d.c. functions and mappings

Libor Veselý, Zajicek, L.|ArXiv.org|Jun 5, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究了在无限维赋范线性空间中，d.c.（差-凸）函数在复合下的稳定性。结果表明，Hartman 关于复合稳定性的经典定理无法推广到无限维情形，但本文建立了 d.c. 映射复合后仍为 d.c. 的充分条件，特别是当外函数为 d.c. 且内映射具有 Lipschitz 控制函数时。关键结果是一个反例，证明在无限维空间中，正 d.c. 函数的倒数不一定是 d.c. 的。

ABSTRACT

A d.c. (delta-convex) function on a normed linear space is a function representable as a difference of two continuous convex functions. We show that an infinite dimensional analogue of Hartman's theorem on stability of d.c. functions under compositions does not hold in general. However, we prove that it holds in some interesting particular cases. Our main results about compositions are proved in the more general context of d.c. mappings between normed linear spaces.

研究动机与目标

• 确定 Hartman 关于 d.c. 函数复合稳定性的定理是否可从有限维推广到无限维赋范线性空间。
• 研究在无限维环境下，d.c. 映射复合后仍为 d.c. 的条件。
• 构造反例，证明在无限维空间中，正 d.c. 函数的倒数可能不是 d.c. 的。
• 通过识别 d.c. 复合稳定性的充分条件（特别是涉及 Lipschitz 控制函数的情形）推广 Hartman 的结果。
• 将 d.c. 映射理论推广到更一般的情形，包括双线性乘积和指数复合。

提出的方法

• 使用控制函数定义 d.c. 映射：若存在连续凸函数 $ f $，使得对所有满足 $ \|y^*\| \leq 1 $ 的 $ y^* \in Y^* $，都有 $ y^* \circ F + f $ 为凸函数，则称映射 $ F: A \to Y $ 为 d.c. 的。
• 应用 Hartman 方法的修改版本，证明若 $ F: A \to \mathbb{R}^n $ 和 $ g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 均为 d.c.，则 $ g \circ F $ 在开凸集 $ A $ 上为 d.c. 的。
• 通过序列 $ e_n^* $ 和凸函数 $ g $，构造一个在 $ 2B_X $ 上具有紧支集的 d.c. 映射 $ \Phi $，以控制复合行为。
• 通过使用具有不相交支集的映射 $ F_k $（每个定义在球 $ B(v_k, \delta_k) $ 上）的类似单位分解的构造，构建 $ A $ 上的全局 d.c. 映射 $ F $。
• 利用引理 5.4 构造一个 d.c. 映射 $ \Phi $，使得对所有 $ x \in D_n $，有 $ \Phi(x) \in [0, y_n] $，从而确保像有界并控制复合行为。
• 应用命题 2.4，得出结论：若映射在局部具有局部 Lipschitz 控制函数，则其在开凸集上为全局 d.c. 的。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hartman 关于 d.c. 函数复合稳定性的定理是否可推广至无限维赋范线性空间？
• RQ2 在无限维空间中，d.c. 映射与 d.c. 实值函数的复合是否仍为 d.c.？
• RQ3 在无限维空间中，正 d.c. 函数的倒数是否总是 d.c. 的？
• RQ4 在何种条件下，d.c. 映射 $ F $ 和 $ g $ 的复合 $ g \circ F $ 可保证为 d.c. 的？
• RQ5 能否构造具有受控支集和像的 d.c. 映射，作为反例的构建模块？

主要发现

• 无限维空间中 Hartman 复合定理的类比不普遍成立：在无限维空间的开凸集上，存在正 d.c. 函数，其倒数不是 d.c. 的。
• 当 $ F: A \to \mathbb{R}^n $ 和 $ g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 均为 d.c.，且 $ A \subset X $ 为开凸集时，即使在无限维空间中，$ g \circ F $ 仍为 d.c. 的。
• 对于无限维空间中开凸集上的任意 d.c. 函数 $ f $，有 $ \exp(f) $ 是 d.c. 的。
• 对于无限维空间中开凸集上的任意 d.c. 函数 $ f, h $，有 $ \frac{fh}{1 + f^2 + h^2} $ 是 d.c. 的。
• 在自反 Banach 空间中，若 $ f_2 $ 远离零，则连续凸函数 $ f_1 $ 与 $ f_2 $ 的商 $ f_1/f_2 $ 是 d.c. 的。
• 存在 d.c. 映射 $ F: A \to B $ 和映射 $ G: B \to Z $，其在有界集上无界，但 $ G \circ F $ 在 $ A $ 上不是 d.c. 的，从而证明了复合稳定性的失效。